数学でよく出てくる関数の一つに、逆三角関数の二乗の形が含まれます。特に、y = (arcsinx)^2 の導関数を求める問題は、逆関数の微分法則を使う良い練習です。このガイドでは、導関数の求め方をステップバイステップで解説します。
1. 問題の設定
問題は次のように与えられています。
y = (arcsinx)^2
この関数の導関数を求めるには、微分の基本的なルールを適用します。具体的には、合成関数の微分ルール（チェーンルール）を使用する必要があります。
2. 合成関数の微分ルール（チェーンルール）の理解
チェーンルールを使用するには、関数を2つの部分に分けることが重要です。関数 y = (arcsinx)^2 は、2つの部分から成り立っています。
- u = arcsin(x)
- y = u^2
この形に分けることで、微分を容易に行うことができます。
3. 微分のステップ
まず、y = u^2 の導関数を求めます。これにより、次のような微分が得られます。
dy/du = 2u
次に、u = arcsin(x) の導関数を求めます。この微分は逆三角関数の微分公式に従って計算できます。
du/dx = 1 / √(1 – x^2)
最後に、チェーンルールを適用して、y = (arcsinx)^2 の導関数を求めます。これは、次のように計算できます。
dy/dx = dy/du × du/dx = 2u × (1 / √(1 – x^2))
ここで、u = arcsin(x) を代入すると、最終的に。
dy/dx = 2 * arcsin(x) / √(1 – x^2)
4. 最終的な答え
したがって、y = (arcsinx)^2 の導関数は次のように表されます。
dy/dx = 2 * arcsin(x) / √(1 – x^2)
この結果は、逆三角関数の微分の一般的なアプローチを利用して得られました。
5. まとめ
y = (arcsinx)^2 の導関数を求める過程では、チェーンルールを使用することが鍵でした。関数を2つに分けて微分を行い、最終的に必要な形にまとめました。この方法は、他の逆三角関数の導関数を求める際にも有効です。
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