座標平面上での関数の交点を求める問題は、座標幾何学や関数の性質を理解するために非常に役立ちます。この問題では、異なる二次関数と水平線の交点を求め、その比率を用いてパラメータを求める方法について解説します。今回は、関数の交点の比率を利用して、パラメータaの値を求める方法を解説します。
問題の整理
問題では、座標平面の第一象限に以下の4つの関数が与えられています。
- ①: y = x²
- ②: y = ax² (1 < a < 1/9)
- ③: y = x²/9
- ④: y = k (k > 0)
関数④は水平線を示しており、これらの関数との交点が求められています。特に、交点ABとBCの比率が1:2であることが示されています。これを利用してaの値を求める方法を解説します。
交点A, B, Cの求め方
まずは、関数①,②,③,④の交点を求めるために、それぞれの関数を連立方程式として扱います。
- 交点Aは、関数①:y = x² と④:y = k の交点です。この交点は、y = x² = k より、x = √k となります。
- 交点Bは、関数②:y = ax² と④:y = k の交点です。この交点は、y = ax² = k より、x = √(k/a) となります。
- 交点Cは、関数③:y = x²/9 と④:y = k の交点です。この交点は、y = x²/9 = k より、x = √(9k) となります。
これで交点A, B, Cの座標が求められました。
交点ABとBCの比率を使ったaの値の求め方
問題では、AB:BC = 1:2という比率が与えられています。これを利用して、aの値を求めます。
ABの長さは、交点AとBのx座標の差です。したがって、AB = √(k/a) – √k です。同様に、BCの長さは、交点BとCのx座標の差です。したがって、BC = √(9k) – √(k/a) となります。
比率AB:BC = 1:2から、以下の式を得られます。
(√(k/a) – √k) / (√(9k) – √(k/a)) = 1 / 2
この式を解くことで、aの値を求めることができます。
まとめ
交点の比率を利用した問題では、関数の交点をまず求め、その後に与えられた比率を使ってパラメータを解く方法が有効です。この問題では、交点A, B, Cの座標を求め、その比率を使ってaの値を導き出すことができました。このように、座標幾何学を用いた問題では、連立方程式と比率を活用することで解決できます。
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