数学の式である x² + 1/x² を計算する際、特に平方根を含む式で値を求める問題が出てくることがあります。例えば、X = √2 – 1 の場合に x² + 1/x² の値を求める問題です。この記事では、この式の解法をわかりやすく説明します。
式を分解して理解しよう
まず、与えられた式 X = √2 – 1 に注目しましょう。この式に関して x² + 1/x² を求めるためには、X の値を使って式を簡単に変形していく必要があります。
ここで重要なのは、x² + 1/x² の形をさらに簡略化して、計算をスムーズに進める方法を見つけることです。まずは X = √2 – 1 という式を別の式に変形してみましょう。
式を計算するための前提知識
x² + 1/x² の式を解くためには、まず X の値を使って X² を求めることから始めます。X = √2 – 1 の場合、X² を計算することで、式が簡単になります。
まず、X = √2 – 1 を二乗すると、次のような計算が得られます。
X² = (√2 – 1)² = 2 – 2√2 + 1 = 3 – 2√2
x² + 1/x² の式に変換
次に、x² + 1/x² の式に変換していきます。x + 1/x の式を使うと、x² + 1/x² を簡単に計算することができます。まず、x + 1/x の値を求め、その二乗から 2 を引く方法を使用します。
具体的には、x + 1/x を求めるために、X = √2 – 1 の値を利用します。ここで、X を使って x + 1/x の値を計算します。x + 1/x の値が求められると、x² + 1/x² の値もすぐに計算できます。
実際の計算例
例えば、X = √2 – 1 の場合、x + 1/x は次のように計算できます。
x + 1/x = √2 – 1 + 1/(√2 – 1)
分母と分子に √2 + 1 を掛けて、式を整えると次のようになります。
x + 1/x = √2 – 1 + (√2 + 1)/(2 – 1) = √2 – 1 + √2 + 1 = 2√2
次に、この値を二乗すると、x² + 1/x² の式が求められます。
(x + 1/x)² = (2√2)² = 8
最後に、x² + 1/x² を求めるためには、上記の式から 2 を引きます。
x² + 1/x² = (x + 1/x)² – 2 = 8 – 2 = 6
まとめ
X = √2 – 1 の場合の x² + 1/x² の値を求める方法は、まず X を二乗してその値を求め、次に x + 1/x の値を計算し、それを二乗することで導き出すことができます。最終的に、この式の値は 6 であることがわかります。
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