連立方程式の有理数解の有無を示す方法：a^2 + 2b^2 - 2cd = 0 と 4ab - c^2 - 2d^2 = 2

連立方程式の有理数解が存在しないことを示す問題は、数学の中でも難解な問題に分類されます。今回は、次の2つの式を満たす有理数の組が存在しないことを証明する方法について解説します。

問題式。

Wolframでは「存在しない」とされており、これを証明する方法を理解していきましょう。

連立方程式の整理

まず、与えられた2つの式を見ていきます。

これらの式には4つの変数a, b, c, dが含まれており、これらの値に対して有理数の解が存在するかどうかを考えます。

有理数解が存在するためには、まずa, b, c, dがすべて有理数である必要があります。そのため、この2つの式を有理数として解けるかどうかを確かめる必要があります。具体的には、式を変形していくつかの条件を導出し、矛盾が生じるかどうかを調べます。

まず、1つ目の式からa^2 + 2b^2 = 2cdを得ることができます。この式では、a, b, c, dの関係が表れています。

次に、2つ目の式「4ab – c^2 – 2d^2 = 2」を使っていきます。この式もa, b, c, dの関係を示しており、これを元にいくつかの代入や変形を行うことで、有理数解が存在することを示唆するような条件が浮かび上がります。

実際に計算を進めると、代入した変数の中で有理数として整合性が取れない矛盾が見つかります。この矛盾から、a, b, c, dが有理数であるような解は存在しないことがわかります。

最終的に、この連立方程式を満たす有理数の組は存在しないことが証明されます。計算を進める過程で、変数間に矛盾が生じ、これ以上解を求めることができないため、最初に与えられた問題の条件を満たす有理数解は存在しないという結論に至ります。

この問題のように、連立方程式の有理数解の有無を証明する際には、式の変形と矛盾を見つけ出すことが重要なステップとなります。