数学の微分の問題の一つに、y = x * log(x + √(x^2 + 1)) の微分があります。この問題は、微分の基本的なルールに従いながら、合成関数の微分や対数関数の微分を組み合わせる必要があります。本記事では、この微分の解法をステップバイステップで説明します。
1. 微分の準備: 合成関数と対数の微分法則
まず、問題を簡単に整理しましょう。与えられた関数は、y = x * log(x + √(x^2 + 1)) です。この関数には、積の形と対数関数が含まれており、それぞれの微分法則を適用します。
積の微分法則は、(u * v)’ = u’ * v + u * v’ です。また、log関数の微分は、d/dx [log(u)] = 1/u * u’ です。これらを利用して微分を進めていきます。
2. 積の微分法則の適用
まず、与えられた関数 y = x * log(x + √(x^2 + 1)) で積の微分法則を適用します。積の微分法則により、微分は次のように展開されます:
dy/dx = d/dx [x] * log(x + √(x^2 + 1)) + x * d/dx [log(x + √(x^2 + 1))]
これにより、最初の項は log(x + √(x^2 + 1))、次の項は x * logの中身の微分になります。
3. 対数部分の微分
次に、log(x + √(x^2 + 1)) の微分を行います。logの微分法則に従って、d/dx [log(u)] = 1/u * u’ です。ここで、u = x + √(x^2 + 1) なので、その微分は次のようになります:
d/dx [x + √(x^2 + 1)] = 1 + (x^2 + 1)^(-1/2) * 2x = 1 + x / √(x^2 + 1)
これを利用して、log部分の微分を計算します。
4. 最終的な微分結果
これらをまとめると、最終的な微分は以下のようになります:
dy/dx = log(x + √(x^2 + 1)) + x * (1 + x / √(x^2 + 1)) / (x + √(x^2 + 1))
この式は、与えられた関数 y = x * log(x + √(x^2 + 1)) の微分結果です。
5. まとめと注意点
この問題を解くためには、積の微分法則と対数関数の微分法則を正しく適用することが重要でした。解法の中で重要なポイントは、積の形であることから積の微分法則を適用し、log部分の微分をしっかり行うことです。複雑な関数でも、基本的な微分法則を適用することで解くことができます。
微分の理解を深めるためには、似たような問題をたくさん解くことが有効です。このような手順を踏んで、徐々に自分のものにしていきましょう。
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