絶対値不等式を解く際、異なる範囲を調整しながら解を求めることが重要です。この記事では、質問者が提示した問題のように、絶対値を含む不等式を正しく解くための手順と、どうして「かつ」を使うのかについて解説します。
絶対値不等式の解法
問題文では、次の2つの不等式が与えられています。
- ｜x – 3｜＜6
- ｜x – 2｜＜a
まず、最初の不等式「｜x – 3｜＜6」を解きます。絶対値不等式を解くには、絶対値を取り除くために、次の2つの不等式に分けます。
-6 ＜ x - 3 ＜ 6これを解くと、xの範囲は次のように求められます。
-3 ＜ x ＜ 9次に、2番目の不等式「｜x – 2｜＜a」を解きます。これも絶対値を取り除くために、次の2つの不等式に分けます。
-a ＜ x - 2 ＜ aこれを解くと、xの範囲は次のように求められます。
2 - a ＜ x ＜ 2 + a不等式の範囲を調整する
ここまでで、それぞれの不等式から得られたxの範囲は次の通りです。
- ｜x – 3｜＜6 → x は -3 ＜ x ＜ 9
- ｜x – 2｜＜a → x は 2 – a ＜ x ＜ 2 + a
これらの範囲を合わせるためには、xが両方の範囲に含まれる必要があります。すなわち、次の2つの条件を満たさなければなりません。
- -3 ＜ x ＜ 2 + a
- 2 – a ＜ x ＜ 9
条件を満たすためのaの値
この2つの条件を満たすためには、次のように式を組み合わせて考えます。
- -3 ＜ 2 + a
- 2 – a ＜ 9
1つ目の式からは、a ≦ 5が得られ、2つ目の式からは、a ≦ 7が得られます。したがって、aの最大値は5です。
なぜ「かつ」を使うのか？
質問者が「なぜ『かつ』を使うのか？」という疑問を持った理由は、この条件が両方同時に成立しなければならないためです。「かつ」とは、両方の条件を同時に満たす必要があることを意味します。例えば、xが「-3 ＜ x ＜ 9」と「2 – a ＜ x ＜ 2 + a」の両方に合う範囲を取らなければなりません。この場合、単に一方の条件を満たすだけでは不十分なので、両方を同時に満たす必要があり、「かつ」を使用するのです。
まとめ
この問題を解くためには、絶対値不等式を解いた後、得られた範囲を組み合わせてaの最大値を求めることが重要です。最終的に、aの最大値は5となります。また、条件を同時に満たすために「かつ」を使用することが必要であり、これは2つの範囲が重なる部分を求めるための適切な方法です。
このような問題を解くことで、数学の論理的な考え方や不等式の解法を身につけることができます。様々な不等式を組み合わせる練習をして、理解を深めましょう。
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