ord(a) = ord(b) = 2かつord(ab) < ∞ならばGは有限群であることを示す方法

この問題では、群 G の元 a と b の順序（ord）が 2 であり、また ord(ab) が有限であることを利用して、G が有限群であることを示します。まず、問題における基本的な条件と定義を確認し、その後に具体的な証明手順を示します。

問題の整理と定義

まず、次の情報が与えられています。

ここで、ord(x) は群 G の元 x の順序を示します。つまり、x の順序は x のべき乗で単位元 e になる最小の整数 n です。すなわち、x^n = e となる最小の n が ord(x) です。

次に、ord(a) = 2 および ord(b) = 2 という条件から、a^2 = e および b^2 = e が成り立つことがわかります。これを基にして、群 G の元 a と b に関する操作を進めていきます。

また、ord(ab) < ∞ という条件は、ab の順序が有限であることを意味します。この条件を利用することで、群 G の構造についての理解を深め、最終的に G が有限群であることを証明します。

次に、ord(a) = 2 および ord(b) = 2 の条件を使って、a と b の積である ab の順序に関して議論を進めます。具体的には、ab の順序が有限であることを利用して、a と b の間に何らかの関係があることを示します。

この手順を通じて、群 G が有限であることを示すために必要な条件を確認し、証明を進めます。

最終的に、a と b の順序が 2 であり、ord(ab) が有限であることから、群 G の元の構造がどのように有限群に帰着するかを示します。これにより、G が有限群であることが証明されます。

この問題では、与えられた条件を基にして、群 G が有限群であることを証明しました。ord(a) = ord(b) = 2 および ord(ab) < ∞ の条件から、群 G の元 a と b の関係を明確にし、最終的に G が有限群であることを示しました。