不等式の解法：xについての不等式を解く方法と解説

不等式を解く問題では、与えられた条件に従って、変数の範囲を求めることが求められます。今回は「xについての不等式 a x < a - x の解が x > 3 のときの値を求めなさい」という問題について解説します。この問題では、まず不等式を解くために変形し、条件に合った解を導きます。

問題の整理と不等式の理解

問題は「a x < a - x」という不等式です。この不等式の解が「x > 3」となるような値を求めることが目的です。まずは、与えられた不等式を変形して、xの範囲を求める準備をします。

不等式に含まれている「a」は定数で、これに対してどのような値を代入するかによって解法が変わる場合があります。最初に、不等式を整理してxの式を取り出しましょう。

不等式「a x < a - x」を解くために、xを一方に集める操作を行います。まず、右辺の「-x」を左辺に移項して、次のようにします。

a x + x < a

次に、xを共通因数としてくくり出します。

x (a + 1) < a

この形に変形することで、xを求めるための式が整理されました。次に、a + 1で両辺を割ってxを孤立させます。ただし、a + 1が正であればそのまま計算できますが、負の場合には不等号の向きが変わる点に注意が必要です。

a + 1で両辺を割ると、次のようになります。

x < a / (a + 1)

これで、不等式をxの形に変形できました。次に、問題の条件である「x > 3」を満たすためには、a / (a + 1)が3より大きくなる必要があります。

これを計算してみると、次のようになります。

a / (a + 1) > 3

この不等式を解くことで、aの範囲が求められます。

不等式「a / (a + 1) > 3」を解くために、まず両辺にa + 1を掛けます。

a > 3 (a + 1)

次に、式を展開して整理します。

a > 3a + 3

両辺から3aを引くと。

-2a > 3

これをaについて解くと、a < -3/2となります。したがって、aの範囲はa < -3/2であることがわかります。

この問題の解法をまとめると、以下のようになります。

これにより、問題の答えはa < -3/2となります。このように、不等式を変形し、条件を満たす範囲を求めることで解を導き出せます。