中学2年生の数学でよく出題される問題の一つに、「偶数と奇数の積は偶数になることを文字式を使って説明しなさい」というものがあります。この記事では、この問題の解き方をわかりやすく解説し、質問者が抱える疑問にも答えていきます。
偶数と奇数の定義
まず、偶数と奇数の定義をしっかりと理解しましょう。
- 偶数：2の倍数の整数。すなわち、mを整数としたとき、偶数は「2m」と表すことができます。
- 奇数：2で割った余りが1になる整数。これをnを整数としたとき、奇数は「2n + 1」と表せます。
これらの定義を使って、偶数と奇数の積が偶数であることを証明していきます。
偶数と奇数の積を求める
問題では、偶数を「2m」、奇数を「2n + 1」と表しています。これらを掛け合わせると、次のようになります。
2m × (2n + 1)ここで、掛け算を分配法則に従って展開すると、次のようになります。
2m × (2n + 1) = 2m × 2n + 2m × 1 = 4mn + 2mこの式からわかることは、2m × (2n + 1)が「4mn + 2m」となることです。この式は明らかに2の倍数であるため、偶数だとわかります。
「m(2n + 1)」が出てくる理由
質問者が「なぜ急にm(2n + 1)が出てくるのか？」という疑問を持たれた理由は、この部分が式の展開中に自然に現れるからです。実際に、「2m × (2n + 1)」を展開すると、最初の項に「2m × 2n」があり、これが「4mn」になります。そして、次に「2m × 1」があり、これが「2m」になります。
この「m(2n + 1)」は、式の一部として、整数mと整数(2n + 1)を掛け合わせた形になっているだけです。ここで重要なのは、最終的に出てきた式「4mn + 2m」が全て2の倍数であるため、この積が偶数であるということです。
偶数の積の確認
このように、偶数と奇数の積は必ず偶数になります。実際に「m」と「n」を適当な整数に置き換えて計算してみると、結果が偶数であることが確認できます。
例えば、m = 2、n = 3の場合。
2 × (2 × 3 + 1) = 2 × 7 = 14このように、結果として得られた14は偶数であることがわかります。
まとめ：偶数と奇数の積は偶数になる理由
偶数と奇数の積が偶数である理由は、偶数と奇数の定義を使って文字式を使って説明することができます。偶数は「2m」、奇数は「2n + 1」と表され、これらを掛け算すると必ず2の倍数となり、偶数になります。
「m(2n + 1)」という部分が出てくる理由は、式の展開に伴い、整数mと整数(2n + 1)を掛け合わせた結果として現れる自然な部分です。このことを理解すれば、偶数と奇数の積が必ず偶数になることを簡単に説明できます。
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