tanθの不等式 -√3 < tanθ < 1 を解く方法

この問題では、不等式 -√3 < tanθ < 1 を解く方法について考えます。与えられた範囲は 0≦θ<2π です。解法のステップを順を追って見ていきましょう。

tanθの基本的な特性

まず、tanθは三角関数の一つで、tanθ = sinθ / cosθ です。tanθの値はθが変わるとともに周期的に変化し、特定の範囲内では様々な値を取ります。tanθの主な特徴として、tanθは周期がπであること、θ = π/2 + nπ (nは整数) で定義できないことが挙げられます。

また、tanθは、0≦θ<π/2では正の値を、π/2≦θ<3π/2では負の値を取ります。

与えられた不等式は -√3 < tanθ < 1 です。この不等式を解くために、まずtanθが-√3より大きく、1より小さい範囲を求めます。

tanθが-√3と1を取るθの値をそれぞれ求めて、次にその範囲を特定します。

tanθ = -√3 の解は、θ = -π/3 + nπ (nは整数) で得られます。これを範囲 0≦θ<2π で求めると、θ = 2π/3 と 5π/3 が得られます。

tanθ = 1 の解は、θ = π/4 + nπ (nは整数) で得られます。これを範囲 0≦θ<2π で求めると、θ = π/4 と 5π/4 が得られます。

この時点で、tanθ = -√3 と tanθ = 1 の解がそれぞれ θ = 2π/3, 5π/3 と θ = π/4, 5π/4 であることがわかります。

次に、tanθが-√3より大きく、1より小さい範囲を特定します。この範囲は、次の区間になります。

不等式 -√3 < tanθ < 1 を解くと、θは次の範囲に該当します。

これが、与えられた範囲内でtanθが-√3と1の間にあるθの値です。