複素数の平方根を求める方法: 2乗して8iとなる複素数zを解く

複素数の平方根を求める問題は、数学の中でも重要なトピックの一つです。特に、与えられた複素数に対して、その2乗が指定された値になるような複素数を求めることは、複素数の性質を理解するための良い練習になります。この記事では、2乗して8iとなる複素数zを求める方法を、ステップバイステップで解説します。

複素数の基本的な形と計算方法

複素数は、実数部分と虚数部分から成り立っています。一般的に、複素数zは次のように表されます。

z = a + bi

ここで、aは実数部分、bは虚数部分、iは虚数単位（i^2 = -1）です。このような複素数zに対して、2乗して指定された複素数になるようなzを求めるためには、まずzをa + biの形で表し、2乗して結果を与えられた複素数に一致させます。

与えられた問題では、2乗して8iとなる複素数zを求める必要があります。つまり、次の条件を満たすzを求めます。

z^2 = 8i

ここで、z = a + biとすると、z^2は次のように展開されます。

(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2

したがって、z^2 = (a^2 – b^2) + 2abi となり、この実数部分と虚数部分がそれぞれ指定された値と一致するように、aとbの値を求めることが次のステップです。

与えられた条件はz^2 = 8iです。この場合、実数部分は0、虚数部分は8です。したがって、次の2つの方程式を得ることができます。

a^2 - b^2 = 0

2ab = 8

まず、a^2 – b^2 = 0から、a^2 = b^2 となり、a = ±bが得られます。この情報を使って次の方程式を解くと、aとbの具体的な値を求めることができます。

a = ±bという式を2ab = 8に代入して解いていきます。

2(±b)b = 8

この式を解くと、bの値が±2であることがわかります。したがって、a = ±2とb = ±2が得られます。

ここで、z = a + biの形に戻すと、次の2つの解が得られます。

z = 2 + 2i または z = -2 - 2i

このようにして、2乗して8iとなる複素数zは、z = 2 + 2i または z = -2 – 2i という2つの解が得られます。複素数の平方根を求める過程では、実数部分と虚数部分をそれぞれ一致させるために、代数的に方程式を解く必要があります。

複素数の平方根を求める問題は、数学の抽象的な思考を鍛えるために非常に有益であり、複素数の性質を理解する上でも重要なステップとなります。