ax^2 + (a+1)x + a < 0の条件と解説

この問題では、実数xに対して不等式 ax^2 + (a+1)x + a < 0 が成り立つような定数aの範囲を求める問題です。解答において、「a < 0」が条件として出ている理由を詳しく解説します。この問題は、2次不等式を解く問題であり、aの値がどのように不等式を満たすかを理解することが重要です。

問題の整理

与えられた不等式は次のような形です。

ax^2 + (a+1)x + a < 0

この不等式がすべての実数xに対して成り立つような定数aを求めます。このためには、2次関数のグラフがx軸より下にある（すなわち、すべてのxに対して関数の値が負である）条件を考えます。

2次関数 ax^2 + (a+1)x + a のグラフは、aの値によって形が変わります。aが正であれば、グラフは上に開いた放物線になり、aが負であれば、グラフは下に開いた放物線になります。問題の不等式がすべての実数xに対して成り立つためには、グラフがx軸より下に位置していなければなりません。

つまり、2次関数 ax^2 + (a+1)x + a の判別式が負である必要があります。判別式が負であれば、グラフがx軸と交わらず、すべてのxに対して関数の値が負になります。

2次関数 ax^2 + (a+1)x + a の判別式は次のように求められます。

Δ = (a+1)^2 - 4a(a)

これを展開すると。

Δ = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1

判別式Δが負であるためには。

-3a^2 + 2a + 1 < 0

この2次不等式を解くと、aの範囲が求まります。

不等式 -3a^2 + 2a + 1 < 0 を解きます。まず、両辺を-1で割り、符号を反転させます。

3a^2 - 2a - 1 > 0

次に、因数分解を行います。

(3a + 1)(a - 1) > 0

この不等式を解くと、aの範囲が次のように求まります。

a < -1/3 または a > 1

したがって、aが-1/3未満または1より大きい場合は、判別式が負になり、グラフはx軸より下に位置します。しかし、問題では「すべての実数xに対して成り立つ」という条件があるため、aの範囲は「a < 0」となります。

この問題で求めるaの値は、a < 0の範囲です。この範囲であれば、与えられた不等式がすべての実数xに対して成り立つことが確認できます。判別式を用いて不等式を解く方法は、2次不等式を扱う上で基本的かつ重要なアプローチです。理解を深めるためには、さまざまな2次不等式を解く練習を積むことが有効です。