x^2 + x + 1の平方完成の方法と途中式の解説

今回は、式x^2 + x + 1の平方完成の方法について解説します。平方完成は、2次式を簡単にして解を求めるために有効な手法です。具体的な手順と途中式を交えて説明していきます。

平方完成とは

平方完成とは、2次方程式を特定の形に変形することで、解を簡単に求めるための方法です。特にx^2 + bx + cの形を、(x + a)^2 + bの形に変形することで、解を視覚的に捉えやすくします。

x^2 + x + 1 の平方完成手順

式x^2 + x + 1の平方完成を行うために、次の手順を踏みます。

1. 最初にx^2 + xの部分を取り出します。
2. x^2 + xを完全な平方の形にするため、b/2の2乗を加えます。ここでb = 1なので、1/2の2乗 = 1/4を加えます。
3. 加えた分だけ元の式に足して、調整します。
4. その結果、式は(x + 1/2)^2 – 1/4 + 1 となり、最終的に(x + 1/2)^2 + 3/4 という形になります。

平方完成の具体的な計算例

式x^2 + x + 1において、平方完成を行う具体的な途中式は以下のようになります。

x^2 + x + 1
= x^2 + x + 1/4 - 1/4 + 1
= (x + 1/2)^2 + 3/4

このように、式x^2 + x + 1を平方完成すると、(x + 1/2)^2 + 3/4という簡単な形に変形できます。

なぜ平方完成を行うのか

平方完成を行うことで、元々の二次式の解が求めやすくなります。特に、グラフの形や解の有無を視覚的に確認するのに有効です。また、方程式の解法や積分、微分など、他の数学的な手法と組み合わせる際にも役立ちます。

まとめ

今回はx^2 + x + 1の平方完成の手順とその途中式について説明しました。平方完成を使うことで、2次方程式をより簡単に解くことができ、数学的な理解が深まります。今後、様々な場面でこの方法を活用していくことができるでしょう。