lim[x→0] log{(e^x + e^2x)/2} / x を微分の定義で求める方法

この問題では、lim[x→0] log{(e^x + e^2x)/2} / x を微分の定義を用いて求める方法を解説します。まず、微分の定義を使う際に重要なのは、lim のリミット操作を利用することです。微分の定義とは、関数f(x)の導関数を定義する式を使用しますが、この問題にも適用できます。

1. 微分の定義を確認する

微分の定義とは、関数f(x)の導関数f'(x)を次の式で求めるものです。

f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) – f(x)] / h

この式を用いて、問題に与えられた関数log{(e^x + e^2x)/2}を微分するために、リミットの操作を行っていきます。

問題文における関数は、log{(e^x + e^2x)/2}です。この関数を微分の定義に沿って操作していきます。まず、関数の中でe^xとe^2xの項がありますが、これらの項を分けて取り扱うことができます。

次に、関数が複合関数なので、ログの部分についても微分を行う必要があります。微分の定義を適用することで、リミット操作の中でログ関数の微分も行いながら、最終的な解を求めていきます。

ログ関数の微分には基本的な微分の法則を適用する必要があります。具体的には、log(u)の微分は1/u * u’の形になるため、これを応用して問題を解いていきます。

ログの内部にあるe^x + e^2xを分けて考え、その微分を行うことで最終的なリミットを求めることができます。この過程を踏むことで、最終的な値を導き出すことができます。

微分の定義を使って計算する場合、特にログや指数関数を含む場合には細かい計算に注意が必要です。例えば、e^xとe^2xの項を取り扱う際、リミット操作を適切に使わないと誤った結果に繋がることがあります。

また、リミット操作を行う際、h→0の近似が正確に適用されていることを確認することが大切です。

この問題では、微分の定義を用いて、log{(e^x + e^2x)/2} / x のリミットを計算する方法を解説しました。リミットを用いることで、複雑な式を簡単に処理できることがわかります。微分の定義やログ関数の微分方法を理解することで、今後の数学の問題にもしっかり対応できるようになります。