数学の問題に取り組む際、特に二次方程式の解法に悩むことがあるかもしれません。今回は、「16(3x + 2)² = 3」という問題を例に、解法のステップを詳しく解説します。二次方程式は、計算をしっかりとステップごとに進めることが解決のカギとなります。この記事では、その流れをわかりやすく説明します。
16(3x + 2)² = 3 を解くための基本的なステップ
まず、問題を見てみましょう。「16(3x + 2)² = 3」という方程式です。このような問題を解くには、いくつかのステップに分けてアプローチするのが効果的です。
ステップ1: 括弧を外して展開する
ステップ1: 括弧を外して展開する
まず、式に括弧がありますが、ここでは(3x + 2)²を展開します。展開すると、次のようになります。
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
したがって、式は次のように変化します。
16(9x² + 12x + 4) = 3
次に、この式を整理していきます。
ステップ2: 両辺に16を掛けて式を簡略化
次に、16を括弧の中に掛け算して式を簡略化します。
16 × (9x² + 12x + 4) = 3
これを展開すると。
144x² + 192x + 64 = 3
次に、両辺から3を引いて、右辺をゼロにします。
ステップ3: 両辺を整理して標準形にする
式を標準形にするために、右辺から3を引きます。
144x² + 192x + 64 - 3 = 0
整理すると。
144x² + 192x + 61 = 0
この式が二次方程式の形になりました。
ステップ4: 二次方程式を解く
ここで出てきたのは、典型的な二次方程式です。二次方程式は一般的に次の式で表されます。
ax² + bx + c = 0
この場合、a = 144, b = 192, c = 61 です。この方程式を解くために、解の公式を使うことができます。解の公式は以下の通りです。
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
それでは、a, b, cの値を代入して解いてみましょう。
x = (-192 ± √(192² - 4 × 144 × 61)) / (2 × 144)
計算すると。
x = (-192 ± √(36864 - 35136)) / 288
これをさらに計算すると。
x = (-192 ± √(1736)) / 288
このようにして、xの値を求めることができます。
ステップ5: 解を求める
最終的な解を求めるために、平方根を計算し、±の符号を適用します。ここでは、計算結果が少し長くなりますが、平方根を求めると次のようになります。
√1736 ≈ 41.64
したがって、解は次の2つの値になります。
x = (-192 + 41.64) / 288 または x = (-192 - 41.64) / 288
これを計算すると、xの解はおおよそ次のようになります。
x ≈ -0.523 または x ≈ -0.811
まとめ
「16(3x + 2)² = 3」を解くためには、まず括弧を展開し、その後に式を整理して二次方程式の形に持ち込みます。最後に解の公式を使って解を求めることで、xの値が求まります。今回の例では、解はx ≈ -0.523 または x ≈ -0.811 となります。このように、ステップを踏んでいくことで、難しい問題も解けるようになります。
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