高校数学の公式 -(A-x)^3 と (x-A)^3 が等しい理由

高校数学の公式の一つに、式「-(A-x)^3」が「(x-A)^3」と等しいという関係があります。これは一見すると不思議に思えるかもしれませんが、実際には簡単な代数の法則に基づいています。この記事では、この式がなぜ成り立つのか、その理由を解説します。

式の変形と符号の取り扱い

まず最初に、問題となる式「-(A-x)^3」を展開してみましょう。この式の中で、括弧内の「A-x」を「x-A」と変換できる理由は符号の扱いにあります。符号の取り扱いに関して、代数の基本的なルールを利用します。

「-(A-x)」は「-(1)(A-x)」と考えることができます。ここで「-1」を外に出すことができるため、式は「-(A-x)^3 = (x-A)^3」となります。符号が反転することで、式が等しいことが確認できます。

例えば、A=2、x=3とした場合を考えます。まず「-(A-x)^3」の式を計算してみます。

「-(2-3)^3 = -( -1 )^3 = -(-1) = 1」となります。同様に、「(x-A)^3」を計算すると、「(3-2)^3 = (1)^3 = 1」となります。このように、両方の式の結果が一致することが確認でき、式「-(A-x)^3 = (x-A)^3」が成り立つ理由が理解できます。

この問題における鍵となるのは、「符号を反転させることで式が等しくなる」という代数の基本的な性質です。具体的には、引き算の順序を変えることで符号が反転し、式全体の値は変わらなくなります。この性質を利用することで、式の簡単な変形が可能となり、より多くの数学的な問題に応用することができます。

また、符号の変換は計算を簡単にするために非常に有効なテクニックであり、代数の問題を解く上でよく使用される方法です。

「-(A-x)^3」と「(x-A)^3」が等しい理由は、単純に符号の反転によるものです。数学では、このように符号を変えることで式を簡単に変形できることがよくあります。代数の基本的なルールを理解し、符号の取り扱いに慣れることで、より複雑な数学の問題も解きやすくなります。