数学の問題で「写像f:ℝ→ℝ, f(x) = x²」の値域を示す問題が出てきたとき、特に中間値の定理を使って解く方法が重要です。この記事では、問題に対する具体的なアプローチを分かりやすく解説します。特に、なぜx=0とy=0を最初に調べるのか、また、なぜb = max { y, 2 }を選ぶのかなどの理由を丁寧に説明します。
問題設定と必要な定理の確認
まず、問題文から与えられた条件を整理します。写像f:ℝ→ℝ, f(x) = x²という関数について、f(ℝ)が{ y ∈ ℝ | y ≥ 0 }であることを示すことが求められています。この問題で使う重要な定理は「中間値の定理」です。中間値の定理は、連続関数がある区間で取る値の間のすべての値を取ることを保証します。
中間値の定理を使用するためには、まず関数が連続であることが必要です。f(x) = x²は既に連続関数であるとされています。
y = 0 のときの解釈
次に、なぜy = 0のときx = 0を調べるのかを考えます。これは、yが0のとき、x = 0のときにf(x) = x²が成立するため、0がf(ℝ)の値域に含まれることを示すためです。つまり、y = 0のとき、x = 0でf(x)が0になることから、0 ∈ f(ℝ)が成り立ちます。
y ≤ 1 のときと y > 1 のとき
次に、y ≤ 1 のとき、y² ≤ 1 が成立することに注目します。これは、yが1以下である場合、y²も1以下であることを示しています。この情報は、問題を解くうえで重要な手がかりとなります。
さらに、y > 1の場合、y² > 1となり、これを利用してf(a)とf(b)を設定します。ここでa = 0, b = max { y, 2 }と選ぶ理由は、aとbの間でf(x)の値がyを含む範囲をカバーするためです。bが2以上になることにより、yが1を超えても、y ≤ 2の範囲で解が得られることが保証されます。
中間値の定理を適用する
ここで、中間値の定理を適用します。f(a) = 0であり、f(b) = b²となることがわかっています。このとき、f(a) < y < f(b)となるようなcが存在することを示すために、中間値の定理を適用します。これにより、y = f(c)が成り立つcが必ず存在することが確認できます。
このようにして、yがf(ℝ)に含まれることが示され、{ y ∈ ℝ | y ≥ 0 } ⊆ f(ℝ)が成立することがわかります。
まとめ
この問題では、中間値の定理を使ってf(x) = x²の値域が{ y ∈ ℝ | y ≥ 0 }であることを示しました。最初にx = 0, y = 0を調べる理由は、0がf(ℝ)に含まれることを示すためであり、またb = max { y, 2 }を選ぶことで、yが1以上の範囲も含むようにして、中間値の定理を適用できるようにしました。これにより、f(ℝ)が{ y ∈ ℝ | y ≥ 0 }であることが示されました。数学の問題では、定理を適切に使用することで、難しい問題も解けるようになります。
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