整数nに対して、{n}をnの正の約数の総和と定義するとき、{5n}+{6n}=216を満たす素数nを求める問題があります。この問題を解くためには、nが素数であることを前提にして、約数の総和の計算方法を理解し、具体的な値を求める必要があります。この記事では、この問題を解くための手順を詳しく解説します。
約数の総和の定義とその計算方法
整数nに対して、{n}はnの正の約数の総和を意味します。例えば、n=6の場合、6の正の約数は1, 2, 3, 6であり、その総和は1+2+3+6=12となります。これを一般的な数nに対して計算する方法として、約数を求めてその合計を出す方法があります。
この問題においては、{5n}と{6n}を計算する必要があります。まず、5nと6nの正の約数を求め、その総和を計算することが求められます。
問題の式を理解する
与えられた式は{5n} + {6n} = 216です。この式は、5nの正の約数の総和と6nの正の約数の総和が216になるような素数nを求めるものです。
まず、nが素数であるという条件を考慮します。nが素数であれば、5nおよび6nの正の約数は、それぞれnの約数に加えて5や6の約数を含むことになります。
約数の総和の計算方法を適用する
nが素数の場合、5nの正の約数は1, 5, n, 5nとなります。したがって、{5n} = 1 + 5 + n + 5nです。次に、6nの正の約数は1, 2, 3, 6, n, 2n, 3n, 6nとなり、{6n} = 1 + 2 + 3 + 6 + n + 2n + 3n + 6nとなります。
これらの約数の総和を式に代入して、nを求めることができます。具体的に計算してみましょう。
具体的な計算と解答
まず、{5n}と{6n}を式に代入してみましょう。
{5n} = 1 + 5 + n + 5n = 6 + n + 5n
次に、{6n}の式を代入します。
{6n} = 1 + 2 + 3 + 6 + n + 2n + 3n + 6n = 12 + 12n
したがって、式は次のようになります。
(6 + n + 5n) + (12 + 12n) = 216
これを整理すると、
18 + 13n + 5n = 216
となり、さらに整理して、
18 + 18n = 216
となります。
ここからnを求めると、
18n = 198
よって、
n = 11
まとめ
問題の式{5n} + {6n} = 216を満たす素数nは、n = 11です。具体的な計算を通じて、約数の総和を求め、nの値を求めることができました。このような問題では、約数の計算や素数の性質を理解し、慎重に計算を行うことが重要です。
この問題は、約数の総和と素数に関する基本的な理解を深めるための良い練習になります。今後、似たような問題を解く際にも役立つ知識となるでしょう。
コメント