(x+1)(y+1)(xy+1) + xy の因数分解と解説

「(x+1)(y+1)(xy+1) + xy」を因数分解する問題に挑戦してみましょう。この問題を解くためには、展開と整理のステップを順を追って行うことが重要です。この記事では、解法の過程と途中式をわかりやすく解説します。

問題の展開

まずは問題を展開してみましょう。与えられた式は、(x+1)(y+1)(xy+1) + xyです。まずは、(x+1)(y+1)を展開します。

(x+1)(y+1) = xy + x + y + 1

次に、これをxy+1と掛け算します。

(xy + x + y + 1)(xy + 1) = (xy)(xy+1) + (x)(xy+1) + (y)(xy+1) + (1)(xy+1)

各項を展開すると、次のようになります。

xy(xy + 1) = x²y² + xy

x(xy + 1) = x²y + x

y(xy + 1) = xy² + y

1(xy + 1) = xy + 1

すべてを足し合わせると、次のような式になります。

x²y² + 2xy + x²y + xy² + x + y + 1

この展開結果に、元の式の最後の項「+ xy」を加えます。

x²y² + 2xy + x²y + xy² + x + y + 1 + xy

同じ項をまとめます。

x²y² + 3xy + x²y + xy² + x + y + 1

次に、この式を因数分解します。まずは、x²y² + 3xy + x²y + xy² + x + y + 1 の項を整理します。

(x²y² + xy²) + (x²y + 3xy) + (x + y + 1)

ここで、括弧ごとに共通の因数を抜き出します。

xy(xy + y) + x(xy + y) + (x + y + 1)

すると、次のように因数分解できます。

(xy + y)(x + 1) + (x + y + 1)

このようにして、式「(x+1)(y+1)(xy+1) + xy」を因数分解する過程が終わります。問題を順番に展開し、項をまとめて整理することで、最終的な因数分解が得られます。

因数分解のポイントは、式を展開して同じ項をまとめること、そして共通因数を見つけて括弧でくくることです。何度も練習することで、因数分解のコツがつかめるようになります。