上界と下界に関する証明の解説：Sが上に有界かつ下に有界である場合の条件

この問題では、集合Sが上に有界および下に有界である場合に関する証明を求めています。Sは実数の部分集合として、上界全体の集合をU(S)、下界全体の集合をL(S)とします。この問題に関連する定義と証明を明確に解説していきます。

1. 上に有界な集合の定義

集合Sが上に有界であるとは、Sのすべての元に対して、その元より大きくない実数が存在することを意味します。すなわち、Sに上界が存在するということです。上界全体の集合をU(S)と定義し、U(S)の要素はSの上界となります。

この場合、U(S)≠∅であることが言えます。もし集合Sが上に有界でない場合、U(S)は空集合になるでしょう。この関係について詳しく理解するためには、上界の概念に基づいた証明が必要です。

同様に、集合Sが下に有界であるとは、Sのすべての元に対して、その元より小さくない実数が存在することを意味します。すなわち、Sには下界が存在します。下界全体の集合をL(S)と定義し、L(S)の要素はSの下界となります。

この場合、L(S)≠∅であることが言えます。もし集合Sが下に有界でない場合、L(S)は空集合になるでしょう。この関係についても、下界の概念に基づいた証明が求められます。

集合Sが上に有界であるとき、U(S)は空集合ではないことが分かります。なぜなら、上界は必ず1つ以上存在するからです。実際、Sが上に有界であるならば、その上界がU(S)に含まれます。同様に、Sが下に有界であるならば、その下界がL(S)に含まれ、L(S)も空でないことが確認できます。

これにより、上界および下界の集合が空でない理由が示されます。

上界および下界に関する証明の手順は、まず集合Sが上に有界または下に有界であることを確認することから始まります。その後、上界や下界を求め、集合U(S)やL(S)にそれぞれ含まれる要素を求めます。

具体的には、上界が存在すればその値をU(S)に含め、下界が存在すればその値をL(S)に含めることを示します。この証明により、U(S)およびL(S)が空でないことが分かります。

集合Sが上に有界または下に有界である場合、その上界および下界を示す集合U(S)およびL(S)は、必ず空でないことが示されました。これらの証明を通じて、上界および下界の概念がどのように成り立っているのか、また、それが集合にどのように関わるのかを理解することができます。

数学的な証明を行う際には、定義を正確に理解し、それに基づいた論理的な手順を踏むことが重要です。これらの問題を解くことで、集合や上界、下界に関する理解が深まるでしょう。