この問題では、関数y = sin(x)の5次近似式を使ってsin(π/18)の近似値を求める方法を解説します。近似式を使用することで、計算を簡略化し、より手軽に解を求めることができます。
5次近似式の導出
まず、y = sin(x) のテイラー展開を用いて近似式を求めます。テイラー展開は、関数の値をある点での導関数を使って多項式で近似する方法です。sin(x)のテイラー展開は以下のように表せます。
y = sin(x) = x – (x^3)/3! + (x^5)/5! – (x^7)/7! + …
この式を5次まで使うと、以下のような近似式が得られます。
sin(x) ≈ x – (x^3)/3! + (x^5)/5!
π/18 の近似値を求める
次に、π = 3.1416 を使って、π/18 を求めます。
π/18 ≈ 3.1416 / 18 = 0.1745
この値を先ほどの近似式に代入して計算を行います。
実際の計算手順
ここで、x = 0.1745 として、sin(x) の近似値を求めます。近似式は。
sin(x) ≈ x – (x^3)/3! + (x^5)/5!
これを順番に計算していきます。
0.1745^3 = 0.0053
0.1745^5 = 0.0000464
これらを使って近似式を計算します。
sin(0.1745) ≈ 0.1745 – (0.0053)/6 + (0.0000464)/120
sin(0.1745) ≈ 0.1745 – 0.00088 + 0.00000039 ≈ 0.17365
まとめ
したがって、sin(π/18) の近似値は 0.17365 となります。5次近似式を使うことで、計算が簡略化され、正確な近似値を得ることができました。最初にテイラー展開を理解し、実際に式を使うことで、計算手順を効率よく進めることができます。
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