AとBのボールゲーム：確率の計算方法と式の解説

この質問では、AとBがボールを出し合って勝敗を決める確率の問題について解説します。特に、1回戦と2回戦に分けた場合の勝率を計算する際に生じる式の立て方について疑問が生じており、その理由を説明します。ここでは、実際の計算を通じて、式の立て方や計算方法を順を追って説明していきます。

問題の構成と基本的な理解

まず、この問題の構成を理解することが重要です。Aは赤ボールを2つ、緑ボールを1つ持ち、Bは赤ボールを1つ、青ボールを2つ持っています。それぞれのボールを1つずつ出し合い、その色で勝敗を決めます。

赤は緑に勝ち、緑は青に勝ち、青は赤に勝つというルールです。ここで、ボールを出す確率を求め、勝率を算出します。特に、1回戦で決着がつかない場合に2回戦に進んだ時の確率の計算がポイントとなります。

1回戦の勝敗が決まる確率を計算するためには、各ボールの出る確率をまず確認しましょう。

Aのボールは赤が2つ、緑が1つ、Bのボールは赤が1つ、青が2つです。これを基に、それぞれのボールが出る確率を求めます。例えば、Aが赤ボールを出す確率は2/3、Bが青ボールを出す確率は2/3です。このように、それぞれの出す確率を掛け合わせることで、1回戦の勝敗を決める確率を求めます。

次に、1回戦で勝敗が決まらず、2回戦に進む場合の確率を求めます。AとBが同じ色のボールを出す場合、試合は続きます。例えば、AとBが両方赤ボールを出した場合、その確率は2/9です。

その後、2回戦に進んだ場合の勝敗を求めるために、AとBが出すボールの組み合わせを再度確認し、それぞれの確率を計算します。2回戦でAが赤ボール、Bが青ボールを出す場合の勝敗確率を計算するには、それぞれのボールが出る確率を掛け算します。

模範解答では、次のような式が提示されています：「(2/3 × 1/3) × (1/2 × 2/2) = 1/9」。この式の意味は、1回戦でAとBが同じ色のボール（赤）を出す確率(2/9)と、2回戦でBが青を出して勝つ確率を掛け算しているということです。

この式では、1回戦で同じ色を出す確率(2/9)と、2回戦でBが青を出して勝つ確率(1/2)を組み合わせているため、式はこうなります。これは、「1回戦でAとBが赤を出す確率 × 2回戦でBが勝つ確率」という流れです。

最終的に、1回戦でBが勝つ確率は5/9、2回戦でBが勝つ確率は1/9であり、これを合計すると、Bが勝つ確率は6/9、すなわち2/3になります。

この問題を解くためには、1回戦と2回戦のそれぞれの確率をきちんと求め、次に進む確率や勝つ確率を正しく組み合わせることが重要です。模範解答の式の立て方も、確率を積み重ねる方法に基づいていますので、このアプローチを理解することが解答への鍵となります。

この問題では、確率を正しく計算し、1回戦と2回戦に分けて考えることがポイントです。模範解答の式は、1回戦と2回戦それぞれの確率を掛け合わせる方法に基づいています。式の立て方と確率の計算方法を理解することで、確率問題の解法が身につきます。