整数p, qにおける√(p² - 8q²)が整数となる組み合わせの解法

この問題では、整数pとqについて、式 √(p² – 8q²) が整数となるようなpとqの組み合わせを求めるという問題です。まず、この問題を解くために必要なステップを整理し、実際にどのようにして解くのかを見ていきましょう。

1. 問題の理解

与えられた式は √(p² – 8q²) です。この式が整数となるためには、√内の数が完全な平方数である必要があります。すなわち、p² – 8q² が完全平方数になるpとqの組み合わせを見つける必要があります。

まず、この式を n² と置くと、次のような式が得られます。

p² – 8q² = n²

この式は、pとqに関する二次方程式であり、n²という完全平方数を作り出すpとqの組み合わせを求めることが目的です。

次に、この方程式を解くためには、p² – 8q² = n² の形から、具体的な整数の組み合わせを探していきます。

式を整理すると、次のようになります。

p² = n² + 8q²

この式から、p²がn² + 8q²の形を持つような整数p, q, nの組み合わせを見つける必要があります。

実際には、いくつかのqの値を代入して、その結果に対してpが整数となるようなnの値を求める作業になります。

例として、q = 1の場合を考えます。このとき、式は次のようになります。

p² = n² + 8(1)² = n² + 8

したがって、p² – n² = 8 となります。これを因数分解すると。

(p – n)(p + n) = 8

8の約数の組み合わせを考えると、(p – n) = 1, (p + n) = 8 となる場合があります。この場合、p = 4, n = 3が得られます。

同様に、q = 2の場合を試してみると、また別の解が得られるでしょう。qの値を変えていくことで、他のpとqの組み合わせが見つかります。

この問題では、整数pとqについて、式 √(p² – 8q²) が整数となるような組み合わせを求めるために、式を整理し、適切な代入を行って解を導きました。p² – 8q² = n² の形に変形し、特定のqに対してpを計算する方法で解答を得ることができました。

また、別の方法として、p² – n² = 8 のように因数分解を利用することで、解の組み合わせを見つけることが可能です。整数の組み合わせを求める問題では、代数的な整理と計算が重要なステップとなります。