微分の問題では、合成関数や対数関数の微分法則をうまく使うことが大切です。この問題では、log(e^(-x) + e^(5x – 3.5)) を微分する方法について解説します。対数関数や指数関数の微分をしっかり理解することで、問題をスムーズに解けるようになります。
問題の確認：log(e^(-x) + e^(5x – 3.5))
まず、与えられた式は log(e^(-x) + e^(5x – 3.5)) です。この問題では、対数関数と指数関数が含まれており、微分を行う際にそれぞれの関数に対して微分法則を適用します。
微分の際には、合成関数の微分（チェーンルール）を適用する必要があります。また、対数関数と指数関数に関する基本的な微分公式を覚えておくことが重要です。
微分法則の確認
まず、微分を行うためにはいくつかの基本的な法則を理解しておく必要があります。
- 対数関数の微分：log(x) の微分は 1/x です。
- 合成関数の微分（チェーンルール）：f(g(x)) の微分は、f'(g(x)) × g'(x) です。
- 指数関数の微分：e^x の微分は e^x です。
微分のステップ：log(e^(-x) + e^(5x – 3.5)) の微分
まず、与えられた式 log(e^(-x) + e^(5x – 3.5)) を微分するには、チェーンルールを適用して、対数部分と指数部分をそれぞれ微分します。
log(u) の微分は 1/u であるため、まずは u = e^(-x) + e^(5x – 3.5) とおきます。すると、微分は次のようになります。
f'(x) = 1 / (e^(-x) + e^(5x – 3.5)) × 微分(u)
次に、u = e^(-x) + e^(5x – 3.5) を微分します。これを微分すると。
u'(x) = -e^(-x) + 5e^(5x – 3.5)
最終的な微分結果
したがって、全体の微分結果は次のようになります。
f'(x) = 1 / (e^(-x) + e^(5x – 3.5)) × (-e^(-x) + 5e^(5x – 3.5))
これが与えられた式 log(e^(-x) + e^(5x – 3.5)) の微分結果です。このように、チェーンルールと微分法則を組み合わせることで、複雑な関数でも微分ができます。
まとめ：微分の手順と注意点
この問題では、対数関数と指数関数を組み合わせた微分問題でした。重要なのは、チェーンルールを正しく適用することと、基本的な微分法則をしっかりと理解することです。最終的な微分結果は次の通りでした。
f'(x) = 1 / (e^(-x) + e^(5x – 3.5)) × (-e^(-x) + 5e^(5x – 3.5))
微分を行う際には、式を正確に展開し、各部分の微分をしっかり計算することが重要です。これにより、複雑な式でも適切に微分を求めることができます。
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