数学の展開式において、(a + b + c) の n 乗を展開する際に特定の項の係数を求める問題は、組み合わせや二項定理に基づいて解くことができます。この記事では、(a+b+c) の n 乗の展開式における特定の項の係数を求める方法を解説します。
(a + b + c) の n 乗の展開式とは？
まず、(a + b + c) の n 乗の展開式について簡単におさらいします。一般的に、(a + b + c)^n の展開は、n の異なる項が含まれ、各項は a, b, c のそれぞれのべき乗の組み合わせになります。展開式の一般的な形は、次のようになります。
(a + b + c)^n = Σ (nCk1, k2, k3) * a^k1 * b^k2 * c^k3
ここで、nCk1, k2, k3 は組み合わせの定数で、k1, k2, k3 はそれぞれ a, b, c のべき乗を表します。
特定の項の係数を求める方法
問題で示されたように、a^p * b^q * c^r の項の係数を求めるには、組み合わせの法則を使います。特に、次の式を使って求めることができます。
係数 = n! / (p! * q! * r!)
ここで、n! は n の階乗、p!, q!, r! はそれぞれ p, q, r の階乗を意味します。これにより、特定の項の係数を計算することができます。
例：実際に係数を求める
例えば、(a + b + c)^5 の展開式において、a^2 * b^2 * c^1 の項の係数を求める場合を考えます。
この場合、n = 5, p = 2, q = 2, r = 1 ですので、以下のように計算します。
係数 = 5! / (2! * 2! * 1!) = (120) / (2 * 2 * 1) = 30
したがって、a^2 * b^2 * c^1 の係数は 30 となります。
まとめ
今回紹介したように、(a + b + c) の n 乗の展開式における特定の項の係数を求める方法は、組み合わせの法則を使い、階乗を計算することで求めることができます。この方法を使えば、数学の問題を効率的に解決することができます。数学の基礎的な知識をしっかり理解し、問題を解く力を養いましょう。
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