数学Iの問題でよく登場する式、(a+b)(b+c)(c+a) + abc の展開は、少し手順を追っていけば理解できるものです。今回は、この式がどのように展開されていくのか、特に③から④への変換方法について詳しく解説します。
問題の式とその展開
まず最初に、問題に与えられた式を確認しましょう。
(a+b)(b+c)(c+a) + abc
この式を展開するには、順を追ってそれぞれの部分を展開していきます。式展開はしっかりと計算の手順を踏んで行うことが大切です。
展開の手順：③の式
最初に、(a+b)(b+c)(c+a) の部分を展開していきます。この式をまずは (a+b)(b+c) の部分から展開します。
(a+b)(b+c) = ab + ac + b² + bc
次に、この結果と (c+a) を掛け合わせます。
(ab + ac + b² + bc)(c+a) = ab(c+a) + ac(c+a) + b²(c+a) + bc(c+a)
この部分をさらに展開すると。
ab(c+a) = abc + a²b
ac(c+a) = ac² + a²c
b²(c+a) = b²c + b²a
bc(c+a) = bc² + abc
これを整理すると、③の式が得られます。
(b+c)a² + {(b+c)² + bc}a + bc(b+c) + abc
③から④への変換方法
次に、③から④に変換する方法を見ていきましょう。③の式は以下のようになっています。
(b+c)a² + {(b+c)² + bc}a + bc(b+c) + abc
これを④の形に変換するためには、式をうまくまとめていく必要があります。まず、(b+c)を括弧でくくっている部分に注目します。これを展開することで、次のようになります。
(b+c)a² + (b+c)²a + bca + bc(b+c) + abc
ここで、(b+c)²を展開すると、次のようになります。
(b+c)² = b² + 2bc + c²
したがって、式は次のように整理できます。
(b+c)a² + (b+c)²a + bca + bc(b+c) + abc = (a+(b+c))((b+c)a+bc)
式展開のまとめ
以上のように、(a+b)(b+c)(c+a) + abc という式は、順を追って展開していくことで③から④へと変換することができます。この手順をしっかり理解し、展開の過程を丁寧に確認することが大切です。式を展開する際には、項をうまくまとめたり、掛け算をきちんと行うことを心がけましょう。
まとめ
式展開は計算過程を順序立てて行うことが非常に重要です。今回の問題のように、複雑な式を展開する際は、丁寧に一つ一つの項を展開し、それを整理することで解が見えてきます。特に③から④への変換では、式の整理と項のまとめがポイントとなります。理解を深めて、他の式展開にも役立ててください。
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