ベクトル解析における線積分と面積分に関する問題について、質問者が解答した結果とテキストの解答に相違があり、その原因を調べるための解説を行います。
ベクトル場の線積分の問題
まず、最初の問題はベクトル場 F = (5xy – 6y²)i + (2y – 4x)j の線積分を求める問題です。積分の経路は曲線 C: y = x³ (1 ≧ x ≧ 0) 上で行われます。この問題を解くためには、曲線 C に沿ったベクトル場 F の積分を行います。
線積分の計算は以下の手順で進めます。
- 曲線 C のパラメータ表示を求める（y = x³ のため、x = t とすると y = t³）。
- ベクトル場 F を t の関数として書き換える。
- 積分範囲を決定し、線積分を計算する。
自分の答えが -13/7 となる理由を考えると、積分範囲や関数の表現に誤りがあるかもしれません。テキストの解答 -8/7 との違いを注意深く比較してみましょう。
スカラー場の面積分の問題
次の問題はスカラー場 f = x² + 2y + z – 1 の面積分です。面積分の計算には、指定された面 S: 2x + 2y + z = 2 の上で積分を行います。この問題では、面 S のパラメータ表示を使って積分を解く必要があります。
面積分を計算するための基本的な流れは以下の通りです。
- 面 S の法線ベクトルを求める（z = 2 – 2x – 2y）。
- 法線ベクトルの大きさを求め、面積要素を計算する。
- 積分範囲を決定し、スカラー場 f に対して面積分を計算する。
自分の答えが 3/4 となった理由を再度確認し、テキストの解答 1/4 との違いを調べることが大切です。
誤解や計算ミスを避けるための注意点
両方の問題に共通するポイントは、積分の経路や範囲を正確に設定し、ベクトル場やスカラー場を適切にパラメータ化することです。また、線積分と面積分を計算する際には、積分範囲や関数の変換に誤りがないかを常に確認しましょう。
さらに、計算の途中で符号や係数に注意し、解答に自信がない場合はもう一度手順を追って確認することが大切です。
まとめ
ベクトル解析の問題に取り組む際は、積分の設定と計算過程に十分注意し、与えられた条件に従って正確に解答を導くことが求められます。自分の答えとテキストの解答に差異がある場合、どこで計算が異なったのかを再確認することが重要です。また、ベクトル場やスカラー場に関連する問題では、パラメータ変換や積分の範囲設定が特に重要なポイントとなります。
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