放物線y＝x²-1の平行移動と接線の方程式

放物線の方程式y＝x²-1が与えられたとき、この放物線をx軸方向に1、y軸方向に4だけ平行移動させた場合、その新しい放物線の方程式を求め、さらにその放物線と1点で接し、原点を通る直線の方程式を求める問題について解説します。

1. 放物線の平行移動

まず、与えられた放物線y＝x²-1をx軸方向に1、y軸方向に4だけ平行移動させます。x軸方向の平行移動は、xをx-1に置き換えることで実現されます。y軸方向の平行移動は、yに+4を加えることで実現されます。

したがって、放物線y＝x²-1を平行移動した新しい方程式は、次のようになります。

y = (x – 1)² – 1 + 4

この式を整理すると。

y = (x – 1)² + 3

2. 放物線と接する直線

次に、この新しい放物線y = (x – 1)² + 3と1点で接し、原点を通る直線の方程式を求めます。直線の方程式は、y = mx + bの形で表すことができますが、ここではb=0と仮定し、直線は原点を通るため、方程式はy = mxとなります。

この直線と放物線が1点で接する条件は、放物線と直線が接する点での接線の傾きが一致することです。そのため、まず放物線y = (x – 1)² + 3の微分を行い、接点での傾きを求めます。

3. 微分して接点を求める

放物線y = (x – 1)² + 3をxで微分します。

dy/dx = 2(x – 1)

接線の傾きは、放物線の微分値と一致します。したがって、接点での傾きmは、m = 2(x – 1)となります。

直線の方程式はy = mxなので、直線の傾きmは放物線の接点での微分値と一致する必要があります。接点のx座標を求めるためには、直線y = mxと放物線y = (x – 1)² + 3の交点を求める必要があります。

4. 方程式の解法と接点の求め方

直線と放物線が接する点は、放物線の方程式と直線の方程式が同時に満たされる点です。すなわち、以下の方程式を解く必要があります。

mx = (x – 1)² + 3

この方程式を解くことで、接点のx座標を求め、接点での傾きmを求めることができます。解いた結果、接点と直線の傾きmが求まれば、直線の方程式が決まります。

5. まとめ

放物線y = x² – 1をx軸方向に1、y軸方向に4だけ平行移動させることで、新しい方程式y = (x – 1)² + 3が得られます。この放物線と原点を通る直線が1点で接するための条件を満たす直線の方程式を求めるには、微分を使って接点の傾きを求め、直線との交点を解くことで求められます。この問題の解法を通じて、放物線と直線の接点や傾きの関係について理解が深まります。