2次方程式の解が負となる定数aの範囲と判別式Dの関係

この問題では、2次方程式 x² – 2ax + a + 6 = 0 の2解がどちらも負となるような定数aの値の範囲を求める問題です。解答において判別式D>=0と記載されていますが、D>0ではない理由についても解説します。

2次方程式の解の条件

2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解を求める際、判別式D = b² – 4ac を使うことが一般的です。判別式が次のように解の性質を決定します。

ここで重要なのは、問題で要求されている「2解がどちらも負」であることを考慮して、解の存在に加え、解の符号についても考える必要があるということです。

与えられた方程式 x² – 2ax + a + 6 = 0 を見てみましょう。この式を一般的な2次方程式の形 ax² + bx + c = 0 に合わせると、次のように整理できます。

このときの判別式Dは次のように計算できます。

D = (-2a)² – 4(1)(a + 6) = 4a² – 4(a + 6) = 4a² – 4a – 24 = 4(a² – a – 6)

よって、判別式Dは D = 4(a² – a – 6) となります。

問題で求められているのは、2つの解がどちらも負であるという条件です。解の公式を用いると、2次方程式の解は次のように求められます。

x = (-b ± √D) / 2a

この場合、b = -2a であり、解の公式は次のように表せます。

x = (2a ± √D) / 2

この式から、解が負となるためには、次の条件を満たさなければなりません。

ここで重要なのは、判別式Dが0である場合でも2つの実数解が存在することです。D > 0であれば解は異なる実数解となり、D = 0であれば重解となります。解が負であることを確実にするためには、少なくとも実数解が存在しなければならないので、D >= 0であれば良いのです。

逆に、D < 0だと解は実数解ではなく複素数解になるため、この場合は解が負であるという条件を満たすことができません。

今回の問題では、判別式Dが>= 0であることが必要です。D = 0の場合でも解が実数であり、重解として存在するため、解が負となる場合もあります。従って、D > 0ではなくD >= 0が適切な条件であり、この条件を満たすaの範囲を求めることで、解が負であることが確認できます。