重積分は多変数関数の積分を行うために非常に重要な数学的手法です。この問題では、領域D={(x, y) | 0 <= x, y <= 1}内での重積分∮∮D(x^3 + y^3)dxdyを計算する方法を解説します。この記事では、その計算方法を順を追って説明します。
重積分の基本概念
重積分とは、2つ以上の変数に関する積分を行うことを指します。一般的に、関数f(x, y)を領域D上で積分する場合、その計算は次のように表されます。
∮∮D f(x, y) dxdy
ここで、Dは積分範囲を示し、xとyは積分変数です。この場合、関数f(x, y) = x^3 + y^3が与えられているので、この関数に基づいた重積分を計算します。
積分範囲の確認
問題では、積分範囲がD={(x, y) | 0 <= x, y <= 1}と指定されています。これは、xとyが0から1の範囲で定義されている領域です。この範囲内で関数x^3 + y^3を積分することになります。
積分範囲を確認した後、重積分を次のように分けて考えることができます。
∮∮D (x^3 + y^3) dxdy = ∮∮D x^3 dxdy + ∮∮D y^3 dxdy
これにより、x^3とy^3それぞれについて積分を行うことができ、計算が簡単になります。
x^3とy^3の積分
まず、x^3の積分を行います。xの積分はyに関して定積分となり、yに関して積分すると次のようになります。
∮∮D x^3 dxdy = ∫(0 to 1) ∫(0 to 1) x^3 dxdy
この積分を解くと、次のように計算できます。
∫(0 to 1) x^3 dx = [ (x^4)/4 ] from 0 to 1 = 1/4
次に、y^3に関しても同様の積分を行います。
∮∮D y^3 dxdy = ∫(0 to 1) ∫(0 to 1) y^3 dxdy = 1/4
最終的な計算
x^3とy^3の積分結果を合計すると、次のようになります。
∮∮D (x^3 + y^3) dxdy = (1/4) + (1/4) = 1/2
まとめ
重積分∮∮D (x^3 + y^3) dxdyの計算は、積分範囲を確認し、x^3とy^3それぞれに対して積分を行うことで簡単に解くことができました。最終的な結果は1/2となります。
このように、重積分は積分範囲を適切に設定し、関数を分けて計算することで解答を得ることができます。数学的な計算手法を理解することで、より複雑な問題にも対応できるようになります。
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