因数分解は多くの数学の問題に登場する基本的なスキルです。今回は、式「(a + b)(b + c)(c + a) + abc」の因数分解の方法について解説します。まずはこの式がどのように展開され、どのように因数分解されるかを順を追って学んでいきましょう。
問題の整理と展開
最初に与えられた式は「(a + b)(b + c)(c + a) + abc」です。この式を展開して、因数分解を試みます。
まず、「(a + b)(b + c)(c + a)」を展開します。2つの項を先に展開すると、次のようになります。
(a + b)(b + c) = ab + ac + b^2 + bc
次に、この結果を「(c + a)」と掛け算します。
(ab + ac + b^2 + bc)(c + a) = abc + a^2c + ac^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + b^2a + bca
そして、最後に「abc」を足します。全体を整理すると。
abc + a^2c + ac^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + b^2a + bca + abc
この式には「abc」が2回現れますので、それをまとめます。
共通項を見つけて整理
式の中で共通項を見つけて整理します。たとえば、abcが2回現れることを確認しました。これをまとめると。
2abc + a^2c + ac^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + b^2a + bca
因数分解の方法
次に、この式を因数分解する方法を見ていきます。通常、複雑な式の因数分解は、共通因子を探し出してそれを括り出すことから始めます。ですが、この式はすでにある程度の共通項を持っています。
例えば、(a + b)(b + c)(c + a) の展開をもとに、後の項を適切に整理し、分解することで因数分解が可能です。
因数分解の結果と考察
最終的にこの式は、(a + b)(b + c)(c + a) という形で因数分解されることがわかります。この結果を得るためには、式を展開してから共通項を整理し、最適な形にまとめることが大切です。
このような因数分解のプロセスを繰り返し練習することで、さらに複雑な式の因数分解にも対応できるようになります。
まとめ
「(a + b)(b + c)(c + a) + abc」の因数分解は、式を展開し、共通項を整理することで、最終的に (a + b)(b + c)(c + a) の形に因数分解されることがわかります。
因数分解は問題を分解して、計算を簡単にするための重要な手法です。基本的な手順を覚え、練習を重ねることで、さらに効率的に因数分解を行えるようになります。
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