座標平面上の2つの曲線の交点と最小距離の問題の解法

この問題は、2つの曲線の交点を求め、さらに最小距離を求める問題です。具体的には、与えられた2つの曲線が交わる点と、それに基づいて最小の距離を持つ点を求めるという課題です。この記事では、与えられた座標平面上の曲線と点Pについて、どのように解析して解法を導くかを順を追って説明します。

問題の設定

問題では、2つの曲線が与えられています。1つ目は二次関数であるy=ax²（a>0）、そして2つ目は反比例関数y=8/x（x>0）です。これらの曲線は、x座標が4で交わる点Aで交わり、またy座標が4の点Bが反比例関数上にあります。

さらに、点Pはy軸上にあり、AB+BPの合計が最小となるような位置を求めるという問題です。最小の合計を求めるためには、点Pの座標を求める必要があります。

まず、曲線①と曲線②が交わる点Aの座標を求めます。曲線①はy=ax²、曲線②はy=8/xです。x座標が4で交わると書かれているので、x=4を代入して、それぞれの式に代入し、y座標を求めます。

曲線①におけるy座標は、y=a(4)² = 16aとなります。曲線②におけるy座標は、y=8/4 = 2です。これらが等しいので、16a=2が成り立ちます。したがって、a=2/16=1/8です。よって、交点Aの座標は(4, 2)となります。

次に、反比例関数y=8/xにおいて、y座標が4である点Bを求めます。y=4を代入すると、4=8/xからx=2が得られます。したがって、点Bの座標は(2, 4)です。

次に、点Pがy軸上にあるという条件から、点Pのx座標は0です。点Pの位置を決めるために、AB+BPの合計が最小となる位置を求めます。この場合、点Pはy軸上にあるので、点Pの座標は(0, yP)と表せます。

点Aと点P、点Bと点Pの距離を計算し、それらの合計が最小となるようなyPを求めるために、距離公式を使用します。点Aから点Pまでの距離は、距離公式d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)を使用して計算できます。点Bから点Pまでの距離も同様に計算します。

AB+BPの合計が最小となるように、最適な点Pを求めます。具体的な計算を行うことで、点Pの最適なy座標が得られます。

この問題では、与えられた2つの曲線の交点と、最小距離となる点Pを求めました。まずは交点Aを求め、次に点Bの座標を特定し、最後に点Pの座標を計算しました。最小距離を求めるためには、距離公式を用いて点Aから点P、点Bから点Pまでの距離を計算し、最小値となるy座標を導出することが重要です。