微分の問題では、式の変形や公式の適用が非常に重要です。ここでは、特にx → 0のときの極限計算でよく出題される式「1 – cos(3x) / x^2」の解き方について詳しく解説します。
問題の概要とアプローチ
与えられた式は、xが0に近づくときの極限を求める問題です。最初に考えるべきは、分母と分子がどのように振る舞うかという点です。cos(3x)の三重角を使うと、cos(3x)の展開式を使って式を整理する方法が有効です。
今回はcos(2x)で使われる二倍角の公式を参考にしつつ、3xに対応する方法を模索します。適切な展開式を見つけ出し、次に必要な手順を順を追って解説します。
cos(3x)の展開と極限計算
まず、cos(3x)の展開を行います。三重角の公式に基づいて、cos(3x)を次のように展開します。
cos(3x) = 1 - (3x)^2 / 2! + (3x)^4 / 4! - ...ここで、xが0に近づくとき、より高次の項は非常に小さくなりますので、最初の数項だけを考えれば十分です。この展開をもとに、x → 0のときの極限を求めます。
式の整理と極限の計算
次に、1 – cos(3x) / x^2を簡単に整理します。分母のx^2と分子の項をうまく結びつけて、xが0に近づくときの振る舞いを明確にします。このとき、高次の項は無視できるため、計算を簡単に進めることができます。
最終的に、x → 0の極限値を求めると、式の解は求めやすくなります。
計算の結果と解答の確認
最終的に計算を行った結果、極限値は-9/2になります。これにより、与えられた式「1 – cos(3x) / x^2」のx → 0における極限値が求められました。計算の過程でのポイントをしっかり確認し、公式の使い方を身につけることが重要です。
まとめ
この問題を解く際には、cos(3x)の展開と極限計算を適切に扱うことが鍵となります。特に、三重角や高次の項を正しく扱い、xが0に近づくときの振る舞いを見極めることが重要です。
微分の問題では、問題設定に応じて適切な展開式や公式を使い分けることが求められます。練習を重ねて、より複雑な問題にも対応できるようになりましょう。
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