高校数学で登場する組み合わせ（nCr）の計算方法について、参考書と教科書で異なる式が示されています。この違いを理解し、どちらを覚えた方が後々役立つかについて解説します。
nCrの基本的な定義
nCr（n個のものからr個を選ぶ組み合わせ）の計算方法にはいくつかの表現があります。最も一般的な式は以下の2つです。
- 参考書に書かれている式: nCr = n! / r!(n – r)!
- 教科書に書かれている式: nCr = nPr / r!
これらの式はどちらも同じ結果を導きますが、それぞれの式の使いどころや覚えやすさについて考えてみましょう。
nCr = n! / r!(n – r)! の式
この式は、nCrを計算する最も基本的で一般的な方法です。n!（nの階乗）とr!(n – r)!（rの階乗とn-rの階乗）の比を使って計算します。この式を使うと、nとrを与えられた時に、簡単に組み合わせの数を求めることができます。
たとえば、5C2を計算する場合、5! / 2!(5 – 2)! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1)(3 × 2 × 1) となり、答えは10となります。
nCr = nPr / r! の式
教科書で使われている式は、nPr（順列）の式を利用しています。この式は、まず順列を求め、それからr!（rの階乗）で割る方法です。順列の計算式では、順番を考慮するための計算が含まれているため、組み合わせの計算にも応用できます。
この方法は、順列の計算を理解していれば非常に簡単に使うことができます。たとえば、5C2を計算する場合、5P2を計算してから2!で割ると同じ結果が得られます。
どちらの式を覚えるべきか？
どちらの式も正確ですが、数学を進める上でどちらを覚えておくかは、使用する場面によって異なります。一般的に、nCr = n! / r!(n – r)! の式は計算がシンプルで基本的な式なので、多くの問題で使われます。
しかし、nPrを既に学んでいる場合、nCr = nPr / r! の式を使うと計算がスムーズに進むことがあります。特に順列の計算が先に理解されている場合、この式を使った計算は便利です。
まとめ：どちらを選ぶべきか？
最終的にどちらの式を覚えておくべきかは、個々の学習スタイルや進行状況によります。基本的には、最初にnCr = n! / r!(n – r)! の式を覚えて、それをしっかりと理解することをお勧めします。その後、nPrと組み合わせてnCr = nPr / r! の式も学ぶと、計算がさらに効率的になります。
どちらにしても、両方の方法を理解して使い分けることが大切です。数学の問題に取り組む際に、使いやすい方法を選んで解いていきましょう！
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