高校2年生数学B 数列の一般項と階差数列の解法について

高校2年生の数学Bにおける数列の問題を解くために、階差数列と一般項について理解を深めていきましょう。以下に示す問題を順番に解説し、途中式とともに答えを導きます。

問題1：階差数列の一般項と与えられた数列の一般項

まずは、以下の数列の階差数列を求め、それぞれの一般項を決定します。

（1） 2, 3, 5, 8, 12
（2） 1, 2, 6, 15, 31
（3） 1, 0, 1, 0, 1
（4） 1, 2, 5, 14, 41

階差数列は、与えられた数列の項とその前の項との差を求めて得られます。この差が一定であれば、その数列は等差数列となり、一般項を求めることができます。

次に、数列 10, 8, 4, -2, -10,… の一般項を求めます。

この数列は、各項が前の項から一定の差で減少しているので、等差数列であることがわかります。等差数列の一般項は、初項と公差を使って求めることができます。

一般項の式は、aₙ = a₁ + (n – 1)d です。ここで、a₁は初項、dは公差、nは項番号です。

次に、初項から第n項までの和が与えられた数列について一般項を求めます。

（1） nの3乗 + 2
（2） 2のn乗 + 3

これらの数列は、和の式を利用して一般項を求める方法を学びます。具体的には、和の式から前項を引くことで一般項を求めます。

最後に、与えられた数列の和がn² – 5で表される数列の一般項を求めます。この場合も、和の式を使って一般項を導出することができます。

まず、和の式であるSₙ = n² – 5を考え、Sₙ – Sₙ₋₁を計算することで、一般項を求めます。

以上のように、数列の問題では階差数列や和の式を利用して一般項を求める方法があります。それぞれの問題を解く際には、与えられた数列の特徴をよく理解し、適切な方法で解答を導くことが重要です。数列の一般項を求める基本的な手法をマスターすることで、今後の数学の学習にも役立てることができます。