モンティ・ホール問題は、30年以上前にアメリカで大きな論争を引き起こした有名な確率の問題です。この問題に関しては、最初に見ると直感に反するような結果が出てきますが、実際には数学的に有利な選択があることが証明されています。この記事では、モンティ・ホール問題を深く理解し、なぜドアを変更する方が有利なのかを解説します。
モンティ・ホール問題とは？
モンティ・ホール問題は、次のようなシンプルなゲームです。3つのドアがあり、そのうち1つのドアの後ろには車が隠れています。プレイヤーは1つのドアを選び、選択後、残りの2つのドアのうち、ハズレの1つが開けられます。そして、プレイヤーには選んだドアを変更するかどうかを聞かれます。問題は、ドアを変更した場合に当たる確率がどのように変わるのかです。
直感的には、変更してもしなくても当たる確率は1/2になると思われがちですが、実際には変更する方が有利であることが数学的に証明されています。
なぜドアを変更する方が有利なのか？
まず、プレイヤーが1つのドアを選ぶと、車が隠れている確率は1/3です。残りの2つのドアには車がない確率が2/3であるため、もし選んだドアに車がない場合、残りのドアに車がある確率が高くなります。
例えば、Aを選んだとしましょう。もしAに車がある場合、ハズレのBかCが開けられます。この時、ドアを変更しても意味はありません。しかし、もしAに車がない場合、BかCに車が隠れている確率が高いため、ドアを変更することで当たる確率が2/3になります。
実験的に確かめると？
実際にこの問題を実験で確かめると、変更する方が有利であることが明らかになります。出題者と回答者をペアにして、選んだドアを変更するかどうかでゲームを100回繰り返した結果、変更する派は70回正解、変更しない派は33回正解という結果が出ました。この結果は、変更する方が当たりやすいことを示しています。
この実験結果を見れば、直感的に「ドアを変更しても確率は変わらない」と思っていた人たちが、いかに多くの誤解をしていたかがわかります。
確率論と直感のギャップ
モンティ・ホール問題の面白い点は、直感と確率論が一致しないところです。人間の直感は、確率に関してはしばしば誤って働きます。この問題では、「ドアを変更する」といった行動が、数学的にはより高い確率をもたらすことが理解できるようになります。
この問題を理解することは、確率論を学ぶ上で非常に有益です。直感と確率を理解し、実際の問題にどう適用するかを学ぶことができるからです。
まとめ
モンティ・ホール問題は、直感とは裏腹にドアを変更した方が当たる確率が高くなるという驚きの結果を示しています。この問題を通じて、確率論に対する理解を深めることができ、直感と数学的理論の違いを実感できる良い機会になります。問題を解く際には、常に数学的な視点を持ち、直感に頼らないようにすることが重要です。
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