モンティホール問題は一見単純に思えるかもしれませんが、その答えがなぜ「2/3」になるのかを理解するには少し頭を使います。この記事では、数学に詳しくない方でもわかりやすいように、モンティホール問題の背後にある論理を解説します。
モンティホール問題とは？
モンティホール問題は、テレビのゲームショー「Let’s Make a Deal」に由来する確率のパズルです。ゲームのルールは以下の通りです。
- 3つのドアのうち、1つには車が隠れており、残りの2つにはヤギが隠れています。
- 参加者が1つのドアを選びます。
- その後、司会者のモンティホール（司会者）は、参加者が選ばなかった2つのドアのうち、ヤギが隠れているドアを1つ開けます。
- 最後に、参加者は最初に選んだドアを変更するか、そのままにするかを選びます。
質問は、最初に選んだドアをそのままにした場合と、変更した場合のどちらがより有利かというものです。
なぜ答えが2/3になるのか？
まず、ゲームが始まる前に、選んだドアに車がある確率は1/3、ヤギがある確率は2/3です。最初に選んだドアが車を隠している確率は1/3で、ヤギが隠れている確率は2/3です。
モンティホールがヤギが隠れているドアを1つ開けた後、もし最初に選んだドアがヤギを隠していた場合、残りの1つのドアには車が隠れていることになります。つまり、最初に選んだドアがヤギを隠していた場合、ドアを変更すると必ず車を当てることができます。ですので、選んだドアを変更する場合は、車が当たる確率は2/3です。
ドアを変更しない場合の確率
最初に選んだドアを変更しなかった場合、当たりの確率は最初に選んだドアに車が隠れている確率と同じく1/3です。この時、ヤギのドアを開けられたことから、選ばなかった2つのドアの1つに車が隠れている確率が2/3であることがわかります。
したがって、最初に選んだドアをそのままにしておく場合、車を当てる確率は1/3であり、ドアを変更した場合は2/3になります。
直感的に理解するための例え話
モンティホール問題をより直感的に理解するために、簡単な例え話をしてみましょう。3つのカードを用意し、1枚だけが「当たり」で、残りはすべて「外れ」です。最初に1枚を選び、残りの2枚を確認したところ、1枚が外れだったとします。この時、残ったカードに当たりがある確率はどのくらいでしょうか？最初に選んだカードに当たりがある確率は1/3ですが、残りのカードに当たりがある確率は2/3です。この感覚をモンティホール問題に置き換えると、ドアを変更することで確実に当たりを引く確率が高いことが理解できます。
まとめ
モンティホール問題で答えが2/3になる理由は、最初に選んだドアが外れである確率が2/3であり、その場合はドアを変更すれば必ず当たりにたどり着くからです。最初に選んだドアに車が隠れている確率は1/3で、変更することで2/3の確率で車を当てることができます。
このように、直感と反してドアを変更したほうが有利であることがわかります。モンティホール問題は確率の考え方を学ぶ上で非常に良い例であり、直感に反した結果をしっかりと理解することが重要です。
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