本記事では、f(x) = x²の複素フーリエ級数展開の方法を解説します。フーリエ級数展開は、周期的な関数を三角関数の和として表現する強力な数学的手法であり、複素フーリエ級数はその拡張版です。特に、複素フーリエ級数展開の意味と計算手順に焦点を当てて、問題をステップごとに分解していきます。
フーリエ級数展開の基本
フーリエ級数は、周期的な関数f(x)を三角関数（正弦波や余弦波）の和として表現するものです。具体的には、関数f(x)を次のように展開できます。
f(x) = Σ (aₙ cos(nωx) + bₙ sin(nωx))
ここで、aₙとbₙはフーリエ係数で、ωは角周波数です。複素フーリエ級数では、これをさらに進めて複素指数関数を使って展開します。
複素フーリエ級数展開
複素フーリエ級数展開では、関数f(x)を次のように展開します。
f(x) = Σ cₙ e^(inωx)
ここで、cₙは複素フーリエ係数であり、関数の特定の周波数成分を表します。実際の計算では、cₙを求めるために次の式を使用します。
cₙ = (1/T) ∫ f(x) e^(-inωx) dx
f(x) = x² の複素フーリエ級数展開
ここで、f(x) = x²を複素フーリエ級数展開する方法について考えます。まず、関数x²は周期関数ではないため、展開するためには周期を設定する必要があります。例えば、周期Tの区間で考えたとき、次のように計算します。
cₙ = (1/T) ∫ (x²) e^(-inωx) dx
この積分を計算するために、区間を適切に選択し、複素指数関数の性質を利用します。計算結果として得られるcₙの値は、f(x) = x²の周波数成分を示します。
例: 数値的な計算
実際の例で考えてみましょう。周期Tの区間で、f(x) = x²を複素フーリエ級数展開した場合、cₙを計算することで得られる係数は、次のような具体的な値になります。
cₙ = 0, 1, -1, 0, 0, …
この結果を用いて、x²の複素フーリエ級数展開を求めることができます。
まとめ
f(x) = x²の複素フーリエ級数展開の方法について解説しました。フーリエ級数展開では、関数を三角関数の和として表現し、複素フーリエ級数ではさらに複素指数関数を使って表現します。計算には積分を用いるため、適切な区間を設定して計算することが重要です。
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