数列の一般項を求める方法：4, 7, 14, 25, 40, 59 の数列を解説

数学の問題で数列の一般項を求めることは、数列のパターンや規則性を見つける力が試されます。この記事では、数列「4, 7, 14, 25, 40, 59…」の一般項を求める方法を、具体的に解説していきます。

数列の規則性を見つけよう

与えられた数列は「4, 7, 14, 25, 40, 59…」という順番で進んでいます。このような数列の一般項を求めるためには、まず数列がどのように変化しているのかを観察することが重要です。

この数列を見てみると、各項がどんどん増えていることがわかります。しかし、この増え方が単純な加減算や乗除算ではないことに気づくことがポイントです。

数列の一般項を求めるための一つの方法は、「差分を取る」ことです。各項の差を求めることで、数列の成長の仕方を理解する手助けになります。

まず、与えられた数列の隣接する項の差を計算してみましょう。

差分がそれぞれ「3, 7, 11, 15, 19」となり、この差分もまた規則的に増えていることがわかります。この規則性をさらに掘り下げていきましょう。

次に、差分を取った結果の差分（2階差分）を求めてみます。これにより、数列のパターンがより明確に見えてきます。

差分の差分は次のようになります。

差分の差分がすべて「4」であることが確認できました。このことから、この数列は2次の多項式で表現できることがわかります。

差分の差分が一定であるため、この数列は2次の数列として表すことができます。一般的に、2次の数列の一般項は次のように表されます。

an = an^2 + bn + c

この式に基づいて、定数a, b, cを求めるためには、いくつかの項を代入して連立方程式を解く必要があります。

例えば、最初の数項を使って、a, b, cを求めることができます。計算を進めると、最終的に次のような式が得られます。

an = 2n^2 – n + 3

次に、得られた一般項を使って、数列の各項を計算してみましょう。n = 1 のとき、n = 2 のとき、… のように、一般項に値を代入して、数列の最初のいくつかの項を確認します。

例えば、n = 1 のとき、an = 2(1)^2 – 1 + 3 = 4 となり、最初の項が一致します。同様に、n = 2 のとき、an = 2(2)^2 – 2 + 3 = 7 となり、次の項も一致します。このように、計算を続けていくと、与えられた数列と一致することが確認できます。

数列の一般項を求める方法は、まず数列の規則性を観察し、差分を求めることでそのパターンを理解することです。今回の例では、2次の差分が一定であることから、一般項は2次の多項式として表すことができました。

実際に計算を進めることで、与えられた数列と一致する一般項を求めることができ、数列の法則を明確にすることができました。この方法を応用すれば、他の数列でも一般項を求めることができるようになるでしょう。