曲線y=√xの接線と法線の方程式の求め方

数学の問題において、接線と法線の方程式を求めることは、特に微分の基本的な応用としてよく出てきます。この記事では、曲線y=√x（x>0）において、点(0.3)から引いた接線と法線の方程式を求める方法について解説します。具体的には、接線と法線の傾きの求め方や、それを用いた方程式の導出方法を説明します。

接線と法線の方程式の求め方

まず、接線と法線の概念を簡単に復習しましょう。接線は、ある点で曲線に接する直線で、その点における曲線の微分係数（傾き）を持っています。一方、法線はその接線に垂直な直線であり、接線の傾きがmなら、法線の傾きは-1/mになります。

問題では、曲線y=√xにおいて、点(0, 3)を通る接線と法線を求める必要があります。まずは、この点が曲線上の点であることを確認します。

接線の方程式を求めるためには、まず曲線y=√xの微分を求めて、接線の傾きを計算します。

y=√xを微分すると、dy/dx = 1/(2√x）となります。この微分係数は曲線の各点における接線の傾きを示します。特に、点(0.3)における接線の傾きを求めるために、x=0.3を代入します。

点(0.3)における接線の傾きは、dy/dx = 1/(2√0.3)となり、約1.82となります。

次に、接線の方程式を求めます。接線の方程式は、点(0.3)を通り、傾きが1.82の直線の方程式として、y – y1 = m(x – x1)の形で書けます。ここで、(x1, y1) = (0.3, √0.3) = (0.3, 0.5477)、m = 1.82です。

したがって、接線の方程式はy – 0.5477 = 1.82(x – 0.3)となります。これを展開して整理すると、接線の方程式はy = 1.82x – 0.5415になります。

法線の傾きは接線の傾きの逆数でマイナスをつけたものです。接線の傾きが1.82であれば、法線の傾きは-1/1.82 ≈ -0.549になります。

法線の方程式は、接線と同様に点(0.3, 0.5477)を通り、法線の傾きが-0.549の直線を求めます。y – 0.5477 = -0.549(x – 0.3)となり、これを展開して整理すると、法線の方程式はy = -0.549x + 0.781となります。

このようにして、曲線y=√xの点(0.3)から引いた接線と法線の方程式を求めることができました。接線の方程式はy = 1.82x – 0.5415、法線の方程式はy = -0.549x + 0.781です。

接線や法線の方程式を求める際には、微分の考え方を理解し、接線の傾きを求めた後に、それを使って方程式を導出する方法をマスターしておくとよいでしょう。