数IIの問題で、点と直線の距離を求める際に、最終的に分母に現れる√a² + b²について、理解が深まらないことがあります。この記事では、その理由とその計算過程をわかりやすく解説します。
問題の背景
まず、直線の方程式と点の座標について復習しましょう。直線Lの方程式は、ax + by + c = 0と表されます。ここで、a、b、cは定数、xとyは点P(x₁, y₁)の座標です。この直線と点Pとの距離を求める問題が出題されることがよくあります。
直線と点の距離の公式
直線L=ax+by+c=0と、点P(x₁, y₁)との距離を求める公式は以下のように表されます。
距離 = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)
なぜこのように分母に√a² + b²が現れるのか、そしてどのように導かれるのかを理解するために、少し詳しく計算過程を見ていきましょう。
計算の流れと√a² + b²の登場
まず、点P(x₁, y₁)を直線L=ax+by+c=0の距離公式に代入する前に、直線の法線ベクトルを考えます。直線の方程式のaとbは、直線の法線ベクトル（直線に垂直なベクトル）として機能します。この法線ベクトルの長さ、つまり√a² + b²が重要になります。
次に、点Pから直線Lまでの最短距離を求めるために、点Pから直線に垂直に引いた線の長さを求めます。この垂線の長さを計算する際に、法線ベクトルの長さで割ることで、最終的に√a² + b²が分母に現れることになります。
法線ベクトルの意味とその影響
直線の法線ベクトルの大きさは、直線がどれだけ「傾いているか」を示します。つまり、法線ベクトルが大きければ、直線がより「急」であり、その逆もまた然りです。この法線ベクトルの長さが分母に来ることで、距離が正確に計算されます。
法線ベクトルを利用した計算により、点から直線までの最短距離が求まります。これにより、直線と点との間の距離が、直線の傾きに合わせて調整されることがわかります。
まとめ
点と直線の距離を求める際、√a² + b²が分母に現れる理由は、直線の法線ベクトルの大きさによる調整です。この法線ベクトルが距離計算において重要な役割を果たし、最短距離を求めるためには、この法線ベクトルを基にした計算が不可欠です。数IIの問題を解く際には、これらの計算手順を理解することが、問題を正確に解くための鍵となります。
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