この問題では、積分式「∫_0^∞ (e^{-xt}-e^{-yt})/t dt = log(y/x)」をどのようにして求めるかについて解説します。具体的な計算手順や、積分を解くための数学的な考え方を順を追って説明します。
1. 問題の理解
与えられた式「∫_0^∞ (e^{-xt}-e^{-yt})/t dt」の目的は、この積分の結果として「log(y/x)」が得られることを示すことです。ここで、xとyは0より大きな実数で、x < yが成り立っています。
まず、この式が何を意味しているのかを理解し、積分の中での変数やその関係を明確にします。
2. 積分の形を整える
積分を簡単にするために、式「∫_0^∞ (e^{-xt}-e^{-yt})/t dt」を分けて考えることが有効です。次のように、2つの項に分けて考えます。
∫_0^∞ (e^{-xt})/t dt – ∫_0^∞ (e^{-yt})/t dt
この積分を、それぞれ個別に解く方法を考えます。
3. 定積分の評価と対数の出現
これらの積分は、特に「e^{-at}/t」という形の積分がよく出てくることから、次のような特別な関係を利用します。
∫_0^∞ e^{-at}/t dt = -log(a)（ただし、a > 0）
この結果を用いると、次のように計算できます。
∫_0^∞ (e^{-xt})/t dt = -log(x) と ∫_0^∞ (e^{-yt})/t dt = -log(y)
4. 結果をまとめる
これらの結果を元に、最初の式に戻すと、次のように式が整理できます。
-log(x) – (-log(y)) = log(y/x)
したがって、求める式「∫_0^∞ (e^{-xt}-e^{-yt})/t dt = log(y/x)」が成り立つことが確認できます。
5. まとめ
この問題は、指数関数と対数関数を含む積分の計算であり、積分を分けて評価し、特別な関数の性質を利用することで解決できます。最終的に、積分の結果として「log(y/x)」が得られることが確認できました。
積分の計算や対数関数の性質について、理解を深めるためには他の問題でも同様の手法を試してみると良いでしょう。
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