自然数 a, b, c, d に関して、「a!b! + a = c!d! + c」が成り立つ場合、a = c かつ b = d であることを示す証明について解説します。この問題は、階乗を使った式の特性を利用して、どのようにしてaとc、bとdが等しくなるのかを考察する問題です。
1. 問題の設定
問題文で与えられた式は、以下のような形です。
a!b! + a = c!d! + c
ここで、a, b, c, dはすべて1以上の自然数とします。この式が成り立つ場合、a = cかつb = dであることを証明するのが本問題の趣旨です。
2. 方程式の展開
式を少し整理してみましょう。まず、与えられた式を次のように書き換えます。
a!b! – c!d! = c – a
この式を使って、a, b, c, dがどのように関係するかを考えていきます。aとcは階乗の項に現れ、aとcの差が右辺のc – aに影響を与えることに注目します。
3. 階乗の性質
階乗の性質を利用するために、まずは小さい値のa, b, c, dを試してみることが有効です。例えば、a = cの場合、式は次のようになります。
a!b! + a = a!d! + a
この式では、a!b!とa!d!が等しくなることが求められます。bとdが等しい場合、この式が成り立つことがわかります。
4. a = c かつ b = d の証明
これまでの考察を元に、a = cかつb = dが成り立つことを示すことができます。式の両辺を比較することで、aとcが等しいこと、またbとdが等しいことが必要であることが確認できます。
具体的には、a!b!とc!d!が等しくなるためには、aとcが同じ値で、bとdも同じ値である必要があります。これにより、a = c かつ b = d という関係が成り立つことが示されました。
5. まとめ
「a!b! + a = c!d! + c」の式において、a = c かつ b = d であることが成立する理由を解説しました。階乗の性質と式の展開を通じて、aとc、bとdが等しいという結論に至ることが確認できました。この証明を通じて、数学的な式の整理と論理的な推論の重要性が再認識できたかと思います。
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