「xy=1を微分せよ」という問題で出てくるいくつかの式、特に「y’ = -1/x^2」と「x’y + xy’ = 0」や「y + x * dy/dx = 0」についての違いについて解説します。これらの式がどのように導かれるのか、またそれぞれの式が何を意味するのかを詳しく見ていきましょう。
1. xy=1 の微分について
まず、問題で与えられた式は「xy = 1」です。この式を微分する際、yをxの関数として捉え、積の微分法則を適用します。積の微分法則に従うと。
xy = 1 を微分すると、x’ * y + x * y’ = 0 になります。これを簡単に解くために、yをxの関数として書き換えます。つまり、y = 1/x = x^-1 です。
2. y’ = -x^-2 と x’y + xy’ = 0 の違い
y = 1/x = x^-1 の場合、その微分を求めると、y’ = -x^-2 になります。これを別の形で表現すると、y’ = -1/x^2 という式になります。この式は、yの変化率、つまりxがどのように変化するとyがどう変化するのかを示しています。
次に、積の微分法則を使った式 x’y + xy’ = 0 の導出方法について説明します。これは、xとyが互いに依存している場合、xとyの変化率がどのように関連しているかを示す式です。この式は、xy=1という式が成り立つ範囲で、xとyの変化がバランスを保つことを意味しています。
3. y + x * dy/dx = 0 の意味
もう一つの式である「y + x * dy/dx = 0」は、積の微分法則を使って得られる式で、xy = 1の関係から導かれます。この式は、yがxの関数としてどのように変化していくのかを表現しています。この式が成り立つことを確認すると、微分の結果として得られるy’と一致することがわかります。
4. まとめ
「xy = 1」を微分すると、異なる表現方法の式が得られます。これらは、積の微分法則に従って導かれた式であり、それぞれ異なる方法でxとyの関係を表現しています。最初に示された式「y’ = -1/x^2」はyの変化率を示し、次に示された式「x’y + xy’ = 0」や「y + x * dy/dx = 0」は、xとyの相互関係を示しています。これらの式の違いを理解することで、微分における基本的な法則を深く理解することができます。
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