多項式の因数分解は、数学の中でもよく出題されるテーマの一つです。今回は、式「x^3 – 4x + 8」を因数分解する方法について、ステップバイステップで解説します。因数分解の過程を通して、この式がどのように因数に分かれるのかを学びましょう。
x^3 – 4x + 8の因数分解に挑戦する前に
まず、この式が因数分解できるかどうかを確認することから始めます。多項式の因数分解は、共通因数を見つけたり、因数定理を使ったり、または平方完成や分解公式を活用したりします。この場合、x^3 – 4x + 8という立方式ですが、簡単には因数分解できない形です。
この式がどうして因数分解できないのか、そしてその解決方法について順番に見ていきましょう。
因数定理を用いて式を分析
因数定理を使って、この式の解を探す方法があります。因数定理は、ある式が特定の値でゼロになる場合、その値は式の因数であるというものです。つまり、x^3 – 4x + 8がゼロになるxの値を探し、その値を使って因数分解を試みる方法です。
この式において、整数解を求めるために、因数定理に基づく可能性のある候補を試します。簡単な試行錯誤を繰り返すことで、x = 2という解が得られることが分かります。
一次式への分解
得られた解x = 2を使って、式を因数分解してみましょう。x – 2が因数であることが分かるので、x^3 – 4x + 8をx – 2で割り算することによって、残りの二次式を求めることができます。
実際に式を割ると、次のように分解することができます。
x^3 - 4x + 8 = (x - 2)(x^2 + 2x - 4)
二次式の因数分解
次に、残りの二次式x^2 + 2x – 4を因数分解できるかどうかを調べます。この式は解の公式を使うことで因数分解が可能です。
解の公式を使うと、x^2 + 2x – 4は次のように因数分解できます。
x^2 + 2x - 4 = (x + 2 - √8)(x + 2 + √8)
まとめ
最終的に、x^3 – 4x + 8の因数分解結果は以下のようになります。
x^3 - 4x + 8 = (x - 2)(x + 2 - √8)(x + 2 + √8)
このように、x^3 – 4x + 8は一次式と二次式に分解できます。因数分解を進める際に解の公式や因数定理をうまく活用することで、複雑な式もシンプルに分解することが可能です。
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