この問題は絶対値を含む方程式です。絶対値を含む方程式は、場合分けをして解くことが基本です。ここでは、|x − 2| + |2x + 1| = 3という方程式の解き方をステップバイステップで解説します。
絶対値の定義と基本的な考え方
絶対値の基本的な性質は、数が0より大きければそのまま、負の数ならば符号を反転させた値です。つまり、|a| = a（a > 0の場合）または|a| = −a（a < 0の場合）となります。この性質を用いて、絶対値を含む方程式を解くためには、数式の中で変数がどのような範囲にあるかを考え、場合分けして解くことが必要です。
場合分けを行う
この方程式 |x − 2| + |2x + 1| = 3 の場合、絶対値が2つ含まれています。そのため、まずそれぞれの絶対値の中身が正か負かによって場合分けを行います。
- ケース1: x − 2 ≥ 0 および 2x + 1 ≥ 0
- ケース2: x − 2 ≥ 0 および 2x + 1 < 0
- ケース3: x − 2 < 0 および 2x + 1 ≥ 0
- ケース4: x − 2 < 0 および 2x + 1 < 0
これらの4つのケースに分けて、それぞれのケースごとに方程式を解いていきます。
ケース1: x − 2 ≥ 0 および 2x + 1 ≥ 0 の場合
この場合、絶対値はそれぞれの中身にそのまま符号を付けて計算できます。方程式は次のようになります。
(x − 2) + (2x + 1) = 3これを解くと、xの値が求められます。
ケース2: x − 2 ≥ 0 および 2x + 1 < 0 の場合
この場合、x − 2はそのままで、2x + 1は符号を反転させます。方程式は次のようになります。
(x − 2) + (−(2x + 1)) = 3これを解くと、xの値が求められます。
ケース3: x − 2 < 0 および 2x + 1 ≥ 0 の場合
この場合、x − 2は符号を反転させ、2x + 1はそのまま計算します。方程式は次のようになります。
(−(x − 2)) + (2x + 1) = 3これを解くと、xの値が求められます。
ケース4: x − 2 < 0 および 2x + 1 < 0 の場合
この場合、x − 2も2x + 1も符号を反転させます。方程式は次のようになります。
(−(x − 2)) + (−(2x + 1)) = 3これを解くと、xの値が求められます。
解のまとめ
以上の4つのケースをそれぞれ解くことで、方程式 |x − 2| + |2x + 1| = 3 の解が得られます。それぞれのケースで求めたxの値を確認し、どの範囲で成立するかを考えながら解を絞り込んでいきましょう。
まとめ
絶対値を含む方程式を解く際は、問題の中で絶対値をどのように扱うかがポイントです。場合分けをしっかり行い、それぞれのケースで計算を進めることで解を得ることができます。どのケースにおいても、符号の扱いに注意して計算を進めることが大切です。
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