コンビネーション（組み合わせ）の計算式について、特に「2n C n」がなぜ「2n! / (n!)^2」になるのかという点について解説します。この式がどのように導かれるのかを詳しく理解することで、他の計算にも応用できるようになります。
1. コンビネーションの基本的な定義
コンビネーションとは、与えられた数の中から選ぶことができる組み合わせの数を求める方法です。一般的なコンビネーションの式は、次のように表されます。
C(n, r) = n! / (r!(n – r)!)
ここで、nは全体のアイテム数、rは選ぶアイテム数、!は階乗を意味します。例えば、「5 C 2」の場合、5個のアイテムから2つを選ぶ組み合わせの数を求めます。
2. 2n C n の計算式の解説
2n C nは、2n個のアイテムからn個を選ぶ場合の組み合わせを求める式です。これを具体的に計算してみましょう。
C(2n, n) = (2n)! / (n!(2n – n)!) = (2n)! / (n!n!)
つまり、2n個からn個を選ぶ場合、計算式は「(2n)! / (n!)^2」となります。この式が導かれる理由は、階乗の定義に基づいており、組み合わせの順序や重複を考慮した結果です。
3. なぜ 2n! / n! ではなく (n!)^2 になるのか
「2n! / n!」ではなく「2n! / (n!)^2」になる理由は、組み合わせにおける順序の扱いにあります。選んだn個のアイテムは順番が重要ではなく、また同じアイテムを何度も選ぶことはありません。そのため、選ぶアイテムの順序を区別する必要はなく、2つのn!（選ぶアイテムの並び順の階乗）が割り算されることになります。
4. 具体的な計算例
例えば、n = 3のとき、C(6, 3)を計算してみましょう。
C(6, 3) = 6! / (3!3!) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20
このように、C(6, 3)は20通りの組み合わせになります。この計算からも、2n! / (n!)^2の式が適切であることがわかります。
5. まとめ
コンビネーション「2n C n」の式は「(2n)! / (n!)^2」と表される理由は、選ぶアイテムの順序を考慮せず、重複なしで組み合わせを求めるためです。階乗を使った計算方法により、正確に組み合わせの数を導くことができます。今回の解説を理解することで、他のコンビネーション問題にも対応できるようになるでしょう。
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