マクスウェル方程式とポアソン方程式の関係を理解する

マクスウェル方程式は電磁場を記述するための基本的な方程式であり、物理学や工学の多くの分野で広く使用されています。この記事では、マクスウェル方程式の基本的な理解に加えて、特に電磁場が時間に依存しない場合における方程式の変形と、ポアソン方程式との関係について詳しく解説します。

マクスウェル方程式の基本形

マクスウェル方程式は電場と磁場の関係を示す方程式で、電場（E）と磁場（B）の振る舞いを数学的に表現します。これらの方程式は、電磁場の時間変化や物質との相互作用を理解するための基盤となります。

具体的には、次の4つの方程式がマクスウェル方程式を構成します。

ここで、Eは電場、Bは磁場、ρは電荷密度、μは透磁率、εは誘電率、iは電流密度、cは光速です。

時間に依存しない場合、つまり静的な状況におけるマクスウェル方程式は次のように簡略化されます。

特に「∇×E = 0」という式からは、電場がスカラーポテンシャル（φ）によって表現できることがわかります。すなわち、E = -∇φと書けます。

電場Eは静電ポテンシャルφによって表され、ポアソン方程式が成立します。

∇²φ = -ρ/ε

これが静電場の解法における基本方程式であり、静電場の問題を解くためには、このポアソン方程式を解くことが重要です。

この問題では、半径Rの球内に密度ρで一様に分布した電荷が与えられています。電荷密度は次のように与えられています。

このような電荷分布における静電場を求めるためには、ポアソン方程式を使って解く必要があります。具体的には、球内外でポアソン方程式とガウスの法則を用いて解析します。

まず、ガウスの法則を使って球内外で電場を求める方法を検討します。ガウスの法則により、球対称な電荷分布における電場は次のように求められます。

∮E・dA = Q_enc/ε

ここで、Q_encは閉じた表面内に囲まれた電荷の総和です。この法則を用いて、球内外の電場を計算し、得られた結果を基に静電場を求めることができます。

マクスウェル方程式とポアソン方程式は、電磁場の挙動を理解するための基礎的な方程式です。時間に依存しない場合の簡略化されたマクスウェル方程式を用いることで、静電場を求めるための方程式であるポアソン方程式が導かれます。静電場の問題に対しては、ポアソン方程式を適用することで、電場の計算が可能となります。