因数分解を使った整数pの求め方とその個数・最大値の解法

数学の問題で、x² + px – 16 = (x + a)(x + b)の形に因数分解できるような整数pを求める問題があります。この問題を解くには、因数分解の方法を理解し、pとして考えられる整数の個数や最大の数を求める必要があります。この記事では、その解法をステップバイステップで解説します。

問題の理解と因数分解の準備

問題文にある式x² + px – 16は、右辺の(x + a)(x + b)という形に因数分解できることが条件です。このため、まずは因数分解の基本的なルールに従って、式を展開してみましょう。
右辺を展開すると、次のような式になります。

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

この式を元の式x² + px – 16と比較すると、x²の係数が一致しており、次のような条件が得られます。

ここで、ab = -16となるような整数aとbの組み合わせを求める必要があります。

次に、ab = -16を満たす整数aとbの組み合わせを考えます。ab = -16となる整数ペアは次の通りです。

(1, -16)
(-1, 16)
(2, -8)
(-2, 8)
(4, -4)
(-4, 4)

これらの組み合わせは、aとbが整数である必要があるため、整数ペアとして有効です。

次に、aとbの組み合わせごとにp = a + bを計算します。各組み合わせについて計算してみましょう。

(1, -16): p = 1 + (-16) = -15
(-1, 16): p = -1 + 16 = 15
(2, -8): p = 2 + (-8) = -6
(-2, 8): p = -2 + 8 = 6
(4, -4): p = 4 + (-4) = 0
(-4, 4): p = -4 + 4 = 0

これらの計算結果から、pとして考えられる値は-15, 15, -6, 6, 0の5つです。

pとして考えられる値の中で最大の値は15です。また、pとして考えられる整数の個数は5つです。

この問題では、x² + px – 16 = (x + a)(x + b)という式を因数分解し、ab = -16を満たす整数aとbの組み合わせを求め、その組み合わせからpの値を計算しました。
pとして考えられる整数の個数は5つ、最大の値は15となります。