高校数学Ⅱで学ぶ対数の問題には、真数条件を正しく理解することが重要です。特に、対数の性質を使った変形を行う際に、真数条件がどのように変わるかを把握することが必要です。ここでは、log₃(x-5)²と2log₃(x-5)の真数条件について詳しく解説します。
対数の真数条件とは
まず、対数の真数条件を理解しておくことが重要です。対数関数の真数は、定義により常に正でなければなりません。例えば、logₐ(x) の場合、x > 0 でなければなりません。この基本的なルールを理解することで、問題の解法がスムーズになります。
log₃(x-5)²の真数条件
問題で挙げられている log₃(x-5)² の場合、真数が (x-5)² となっています。これは平方の形になっているため、(x-5)² は常に0以上です。つまり、x ≠ 5 であれば、この式は問題なく計算できます。このため、log₃(x-5)² の真数条件は x ≠ 5 です。
2log₃(x-5) の真数条件
次に、2log₃(x-5) の場合ですが、この式においても x-5 が正である必要があります。すなわち、x > 5 でなければなりません。この場合、平方ではないため、x > 5 という厳密な条件が必要です。これが、log₃(x-5)² の真数条件と異なる点です。
なぜ真数条件が変わるのか
変形を行う際に真数条件が変わる理由は、対数関数の性質と演算にあります。log₃(x-5)² は、平方を含むため、x ≠ 5 という条件になりますが、2log₃(x-5) では、x-5 が正である必要があるため、x > 5 という条件に変化します。このように、式の変形によって、求められる条件が異なることがあります。
他の例：方程式と真数条件の違い
質問の後半にある方程式 log₂x + log₂(x-7) = 3 と log₂x(x-7) = 3 の違いについても考えます。①の方程式の場合、真数条件は x > 7 となりますが、②では x < 0 または x > 7 という条件が出てきます。これらの違いは、式の構造によって真数条件がどのように変化するかを示しています。
まとめ
対数の真数条件は、式の形に大きく依存します。log₃(x-5)² と 2log₃(x-5) のような式の変形を行う際には、式を変更することで真数条件が変わることを理解することが大切です。数学では、細かな条件をしっかりと押さえることで、より正確な計算が可能になります。
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